Алгоритм компьютерного моделирования геометрии протекаемого кластера при образовании залежей углеводородов в рамках концепции связанности порового пространства

Е.О. Беляков, Научно-Технический Центр «Газпром нефти» (ООО «Газпромнефть НТЦ»)

Источник: Журнал «Геофизика»

ВВЕДЕНИЕ

Развитие вычислительных средств во второй половине XX века позволило сформулировать различные теории для описания неупорядоченных сред, какими, в частности, являются горные породы, с получением практически значимых результатов. В основе таких подходов, как правило, лежит компьютерное моделирование различных систем с возможностью количественного описания протекаемых в них процессов. Наиболее распространенной теорией, которая позволяет описать просачивание жидкостей или газов через пористую среду, является теория перколяции (от англ. рercolation – протекание, просачивание). Теория перколяции исторически восходит к работам Флори (1941) и Стокмайера (1943), однако ее основные идеи были сформулированы лишь в 1957 г. в работе английских ученых Бродбента и Хаммерсли. Основными параметрами, поведение которых описывает теория перколяции, являются условная проводимость среды и относительный объем образующегося в ней протекаемого кластера (ПК). Основные закономерности, описывающие влияние геометрии ПК на проводимость сильно неоднородных систем, были описаны в работе Киркпатрика [13] в 1973 г. В отечественной практике данное направление получило развитие благодаря работам Б.И. Шкловского и А.Л. Эфроса [10, 11]. Для описания поведения пористых систем теория перколяции привлекалась многими отечественными авторами. В качестве примера можно привести работуГ.Н. Дульнева и В.И. Маларева [4], в которой были сформулированы математические закономерности для описания проводимости различных пористых сред. Применительно к описанию фильтрационноемкостных свойств горных пород теория перколяции использовалась в работах А.В. Мальшакова [6, 7]. Перколяционные характеристики бидисперсных систем описаны в работах А.В. Неймарка, А.В. Мальшакова и В.А. Ефимова [5, 8]. 

В связи с появлением относительно быстродействующих вычислительных систем, позволяющих моделировать сложные объемные структуры, теорию перколяции можно считать наиболее перспективной для описания процессов фильтрации флюидов в поровом пространстве коллекторов нефти и газа, поскольку неупорядоченная модель горной породы является наиболее приближенной к реальным условиям.

Постановка задачи

При петрофизическом моделировании фильтрационно-емкостных свойств (ФЕС) наибольший интерес представляет зависимость между проницаемостью и структурными коэффициентами, характеризующими поровое пространство (А.А. Ханин, 1965). Физический смысл коэффициента проницаемости заключается в том, что, по сути, он отражает среднюю площадь сечения всех каналов, через которые идет фильтрация флюида. Как теперь уже доказано многими исследователями, обобщенной парной зависимости между пористостью и проницаемостью не может существовать. Две среды одной и той же пористости могут иметь совершенно различные проницаемости [9]. Очевидно, что аналогичное обстоятельство можно обобщить и для корреляций пористости с другими ФЕС (эффективная пористость, остаточная водонасыщенность). 

Таким образом, структурные характеристики (геометрические особенности) порового пространства существенно влияют на ФЕС горных пород, поэтому одной из основных задач является поиск обобщающих факторов для отражения ключевых особенностей геометрии проводящей компоненты породы с целью получения универсальных математически формализованных алгоритмов прогноза фильтрационных характеристик по данным геофизических методов исследования скважин (ГИС) и керна. Основным инструментом для решения указанных задач является подход, сформулированный в рамках концепции связанности порового пространства [1–3, 12]. Ключевое положение КСПП основано на том очевидном факте, что при одинаковом объеме пор проводящие свойства для того или иного физического процесса «протекания» в поровом пространстве (электропроводность, диффузия, течение флюидов и т.д.) обусловлены наличием геометрической связанности между отдельными порами и размерами самих пор (или расстоянием между порами). При этом причина наличия этих связей для конкретного физического процесса может быть абсолютно различна, но конечный результат (прогнозная характеристика системы) является одинаковым.

Рис. 1 Схематичное представление концепции связанности порового пространства

На рис. 1 представлено схематичное пояснение КСПП на при мере четырех условных систем с одинаковой долей проводников при их различной связанности между собой. Системы представлены двумя размерами проводящих элементов, отображающих относительно крупные поры или каверны и более мелкие поры. Связи между отдельными порами также имеют различный масштаб. Самые короткие отражают наличие микрокапилляров, более длинные моделируют трещины. В случае наличия достаточного числа связей возникает единый связанный кластер проводящих элементов, выраженный на любых масштабах системы (бесконечный кластер БК). При этом конечный результат может быть аналогичным для рассматриваемых систем, но при этом достигаться различным сочетанием связей и их размеров. Например, в поле сопоставления относительного объема связанного кластера проводников с относительной долей всех проводников системы 2 и 4 будут эквивалентны. Очевидно, что проницаемости этих систем не будут полностью идентичны, поскольку сами связи имеют различную проводимость, а длины образующихся проводящих цепочек могут различаться, однако на качественном уровне можно ожидать примерное соответствие. Таким образом, в поле соотношения пористость – проницаемость можно выделить условные градации, которые характеризуют некую условную связанность порового пространства. При этом указанная связанность S (структурный фактор) является обобщающей характеристикой, зависящей от множества различных параметров, которые характеризуют геометрию проводящего кластера. Применительно к процессу образования углеводородной залежи относительный объем протекаемого кластера тождественен относительному объему порового пространства, который могут занять нефть или газ. При этом в зоне предельной насыщенности основным влияющим фактором являются структурные особенности порового пространства и характеристики взаимодействия поверхности твердой фазы с поровыми флюидами. В переходной зоне дополнительным влияющим фактором будет являться величина капиллярного давления на границе раздела «нефть – вода» или «газ – вода».

Методология

Результаты построения цифровой модели геометрии протекаемого кластера в рамках КСПП частично изложены в работах [1–3, 12]. Модель пористой среды представляется как кубическая решетка, в которой узлы случайным образом маркируются как проводящие и непроводящие с вероятностями Pu и (1–Pu ), соответственно. Каждый узел, в свою очередь, имеет или не имеет связь с ближайшими 26 узлами в различных направлениях. Вероятность наличия связи с относительной длиной Ls в произвольном направлении задается параметром Ps [i], где i = 1 ÷ 26 – массив соответствующих направлений. Если моделируется изотропная система, то величина Ps будет одинаковой во всех направлениях. Доля связанных узлов (мощность протекаемого кластера) по отношению к общей доле всех проводников в системе отражается вероятностью Pk , а по отношению к объему всей системы – вероятностью Ek = Pu *Pk. 

Величины Pu /Ls 3 , 1–Pk и Ek /Ls 3 отождествляются, соответственно, с пористостью (Кп ), остаточной водонасыщенностью (Кво) и эффективной пористостью (Кпэф) пород. Формализация модели на базе указанных критериев поясняется на рис. 2.

Рис. 2 Модель системы с разной степенью связанности проводящего пространства

Возможность моделирования массива фиксированных в заданных направлениях элементарных вероятностей Ps [i] позволяет моделировать не только анизотропию, но некоторые кубические решетки (рис. 3).

Рис. 3 Принцип моделирования некоторых кубических решеток

Алгоритмом предусматривается усложнение модели за счет возможности моделирования вытянутых в различных направлениях элементов (квазиэлементов) (рис. 4). 

Рис. 4 Принцип моделирования структурных квазиэлементов

По умолчанию подразумевается, что в координатных осях XYZ связанность элементарных узлов анализируется вдоль оси Y. При этом сечение системы проводится плоскостью XZ, а отдельный квазиэлемент представлен проводниками или непроводниками в зависимости от базовых вероятностей связи Ps для элементарных узлов внутри каждого квазиэлемента (рис. 5).

Рис. 5 Принцип моделирования связанности элементарных узлов внутри структурных квазиэлементов

Общий алгоритм моделирования делится на три основных этапа:
• моделирование объемной решетки в заданных границах 3D-модели образца породы;
• расчет массива 3D-связей проводящих узлов решетки между собой;
• моделирование связанного в заданном направлении проводящего кластера.

Исходными данными для алгоритма являются следующие величины: пороговая вероятность Pu , размер модели N, размеры элемента структуры вдоль плоскостей X, Y, Z – ax, ay, az. Для моделирования разноуровневой неоднородности породы используется не просто единичный узел объемной решетки, а некоторая совокупность проводящих или непроводящих узлов (рис. 5), рассматриваемая на данном шаге как единое целое – элемент моделируемой структуры. Элемент является 3D-объектом и имеет размеры: ширину, длину и высоту. Отличительной особенностью структурного элемента является наличие возможности не только менять его общие размеры, но и задавать их произвольно в трех плоскостях, т.е. моделировать анизотропные, относительно направления поиска путей протекания, системы.

Единицей измерения размера структурного квазиэлемента является узел объемной решетки (элементарный структурный элемент). Структурный квазиэлемент маркируется как «проводник» (1 – в цифровом, изначально нулевом битовом массиве), если случайным образом сгенерированное число в диапазоне от 0 до 1 больше заданной вероятности Pu при величине Ps = 1 для всех возможных направлений. В случае когда Ps << 1, возможны случаи, когда структурный квазиэлемент перестает быть проводником.

После формирования массива узлов решетки распределяется связанность между ними. В общем случае для отдельного узла наличие связи в любом из 26 направлений устанавливается, если случайным образом сгенерированное число в диапазоне от 0 до 1 больше заданной пороговой вероятности Ps[i], при условии, что соседний элемент в этом направлении является проводником. Таким образом, для каждого узла строится битовый массив размерности – {3, 3, 3}, состоящий из 0 и 1. Единичный элемент массива говорит о том, что возможно протекание из текущего узла решетки в соседний узел, расположенный в направлении единичного элемента массива. Пример битового массива и соответствующий ему участок решетки приведены на рис. 6. Битовые массивы направлений упаковываются в соответствующее целое число, которое является элементом массива 3Dсвязей узлов объемной решетки. Массив 3D-связей проводящих узлов полностью покрывает решетку.

Рис. 6 Пример представления битового массива связей

Моделирование процесса «протекания» сводится к поиску по массиву 3D-связей узлов непрерывных кластеров проводников и производится по нижеприведенному алгоритму. По умолчанию сечение модели выполняется вдоль оси Z плоскостью XY, направление движения в плоскости сечения оси X. Поиск очередного кластера на плоскости начинается с узла {n,0} и заканчивается в узлах, у которых массив на правлений пуст. Пройденные узлы исключаются из рассмотрения. В плоскости модели {X, Y0, Z}, от которой производится поиск проводящих путей, все проводящие элементы, связанные с проводниками плоскости {X, Y1, Z}, приписываются к ПК. После этого анализируется каждый узел ПК {Xi, Y0, Zm}, где i = 0,1,2,…,Nх, m = 0,1,2,…,Nz, Nx и Nz – размеры системы в соответствующих направлениях. Для каждого анализируемого узла, как из вершины, строится иерархический список связанных c ним других проводящих узлов. При этом все связанные узлы списка относятся к ПК. В процессе построения по нему прослеживаются все возможные линии «протекания». Когда линия доходит до узла с нулевым массивом направлений, она обрывается, и алгоритм начинает возвращаться по этой линии в поисках узла с ненулевым массивом направлений. В найденном узле из массива направлений выбирается очередное ненулевое направление, после чего строится следующая линия протекания. Когда массив направлений вершины списка станет нулевым, выбирается следующий ненулевой узел {Xi, Y0, Zm}. Он становится вершиной следующего списка и т.д. (рис. 7).

Рис. 7 Принцип поиска путей протекания

Поиск путей протекания прекращается, когда в системе не останется ни одного связанного с плоскостью {Xi, Y0, Zm} проводника с ненулевым массивом направлений. Таким образом, все геометрически связанные с начальной плоскостью протекания проводники маркируются как протекаемый кластер (ПК). Пример 3D-реализации протекаемого кластера, полученного на основе вышеописанного алгоритма, представлен на рис. 8.

Рис. 8 Пример реализации протекаемого кластера в окрестности порога протекания при различных параметрах Pu, Psi и соотношениях размеров структурных квазиэлементов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленный алгоритм позволяет провести цифровое моделирование геометрии порового пространства, которое определяется различным сочетанием разномасштабных проводящих компонентов систем, моделирующих фактическую неоднородность горных пород. В качестве примера на рис. 9 представлена цифровая модель протекаемого кластера для породы «рябчиковой» текстуры. Подобные системы можно задавать для других типов пород с уникальной геометрией пространства фильтрации, подбирая так называемые цифровые двойники для реальных горных пород.

Рис. 9 Пример 2D-сечения реализации протекаемого кластера (a), фотография образца с типичной текстурой «рябчикового» типа (б)

Изучение поведения геометрии разнообразных протекаемых кластеров позволяет получить представление о влиянии различных параметров разномасштабной неоднородности горных пород на заданных соотношениях между размерами неоднородностей и размером самой системы. Такое понимание позволяет по-новому взглянуть на процессы образования продуктивных интервалов в объеме горных пород, более точно прогнозировать их локализацию и фильтрационно-емкостные параметры. Дополнительное привлечение решений, реализованных к настоящему времени в рамках технологий «Цифровой керн», позволяет получить статистический набор различных вариантов прямых решений (библиотеку цифровых аналогов ФЕС), который может использоваться в качестве оперативной реализации процедуры подбора цифровых аналогов реальных горных пород.

ЛИТЕРАТУРА

1. Беляков Е.О., Теплоухов В.М. Использование стохастической модели связанности порового пространства для описания фильтрационно-емкостных свойств пластов АС9-12 Приобского месторождения // Нефтяное хозяйство. 2010. № 12.
2. Беляков Е.О., Французов С.Е., Мухидинов Ш.В., Стремичев Е.В., Макухо Д.М. Вероятностная модель распределения флюидонасыщенности порового пространства пород как основа уточнения петрофизических моделей фильтрационно-емкостных свойств // Нефтяное хозяйство. 2013. № 12.
3. Беляков Е.О., Мухидинов Ш.В. Использование обобщенных зависимостей для построения петрофизических моделей фильтрационно-емкостных свойств с оценкой граничных параметров выделения коллекторов и определения их характера насыщенности. Петрофизика сложных коллекторов: проблемы и перспективы; Сборник статей / Сост. Б.Н. Еникеев. М.: ООО «ЕАГО Геомодель», 2015. 383 с. ISBN 978-94-6282-173-6.
4. Дульнев Г.Н., Маларев В.И. Теория протекания в проблеме проводимости неоднородных сред. ИФЖ, 1990. Т. 59, № 3. С. 522–539.
5. Ефимов В.А., Мальшаков А.В. Уравнения ренормгруппы для задачи о перколяции бидисперсной системы. В кн.: Проблемы освоения нефтегазовых ресурсов Западной Сибири. Сб. межвуз. трудов. Тюмень, 1991. С. 29–35.
6. Мальшаков А.В. Проницаемость и перколяционные свойства порового пространства осадочных горных пород. ИФЖ. 1991. Т. 61. № 4. С. 635–640.
7. Мальшаков А.В. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой порового пространства, обладающей фрактальной геометрией. ИФЖ. 1992. Т. 62. № 3. С. 405–410.
8. Неймарк А.В. Бидисперсная перколяционная система. ЖТФ, 1989. Т. 59. Вып. 6. С. 22–26.
9. Ханин А.А. Породы-коллекторы нефти и газа нефтегазоносных провинций СССР. М.: Недра, 1973. 304 с.
10. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Теория протекания и проводимость сильно неоднородных сред. УФН. 1975. Т. 117. Вып. 3. С. 401–434.
11. Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка. Библиотечка «Квант», выпуск 19. М.: Наука, 1982. 176 с.
12. Stremichev E.V., Belyakov E.O., Makuho D.M. Tyumen 2013: Generalized petrophysical models of reservoir properties based on the concept of connectedness of the pore spaсe. New Geotechnology for the Old Oil Provinces 2013. P. 494–499.
13. Kirkpatrick Sc. Percolation and Conduction Rev. Mod. Phys. 1973. № 45. P. 574.

REFERENCES

1. Belyakov EO, Teploukhov VM. Use of the stochastic model of pore space connectivity for describing the filtration-capacitance properties of AS9-12 layers in the Priobskoye field. Oil industry. 2010; (12) (in Russian).
2. Belyakov EO, Frantsuzov SE, Mukhidinov Sh V, Stremichev EV, Makukho DM. Probabilistic model of distribution of fluid saturation of porous rock space as a basis for refinement of petrophysical models of filtration-capacitive properties. Oil industry. 2013; (12) (in Russian).
3. Belyakov EO, Mukhidinov ShV. Usage of generalized dependencies for the construction of petrophysical models of filtration-capacitive properties with estimation of boundary parameters of reservoir separation and determination of their saturation character. Petrophysics of complex reservoirs: problems and prospects 2015; Collection of articles. Comp. B.N. Enikeev. Moscow: OOO EAGO Geomodel, 2015. 383 p. ISBN 978-94- 6282-173-6 (in Russian).
4. Dulnev GN, Malarev VI. The theory of flow in the problem of conductivity of inhomogeneous media. IFZ. 1990; 59 (3): 522–539 (in Russian).
5. Efimov VA, Malshakov AV. Renormalization group equations for the problem of percolation of a bidisperse system. In: Problems of development of oil and gas resources in western Siberia. Sat. interuniversity. works. Tyumen, 1991. P. 29–35 (in Russian).
6. Malshakov AV. Permeability and percolation properties of the pore space of sedimentary rocks. FIR. 1991; 61(4): 635–640 (in Russian).
7. Malshakov AV. Equations of hydrodynamics for porous media with a pore space structure with fractal geometry. FIR. 1992; 62 (3): 405–410 (in Russian).
8. Neimark AV. Bidisperse percolation system. ZhTF, 1989. V. 59. № 6. P. 22–26 (in Russian).
9. Khanin AA. Reservoirs of oil and gas in oil and gas bearing provinces of the USSR. Moscow: Nedra, 1973. 304 p. (in Russian).
10. Shklovskii BI, Efros AL. The theory of percolation and conductivity of highly inhomogeneous media. Successes of Physical Sciences. 1975. Vol. 117, issue 3. P. 401–434 (in Russian).
11. Efros AL. Physics and geometry of disorder. Library Kvant, № 19. Moscow: Science, 1982. 176 p. (in Russian).
12. Stremichev EV, Belyakov EO, Makuho DM. Tyumen 2013: Generalized petrophysical models of reservoir properties based on the concept of connectedness of a pore spaсe. New Geotechnology for the Old Oil Provinces. 2013. P. 494–499.
13. Kirkpatrick Sc. Percolation and Conduction Rev. Mod. Phys. 1973. № 45. P. 574.

Положительная рецензия от 22.08.2018 
Решение редколлегии о публикации от 31.08.2018

Возврат к списку