Определение дебита вертикальных скважин с гидроразрывом пласта на неустановившемся режиме фильтрации

М.М. Хасанов (ПАО «Газпром нефть»), О.Ю. Головнёва

Источник: Журнал «Нефтяное хозяйство»

Активное вовлечение в разработку технологий гидроразрыва пласта (ГРП) вызвало появление большого числа работ, посвященных методам оценки дебита скважин с ГРП, а также методикам оценки характеристик пласта и трещины по результатам специальных исследований скважин. Примечательно, что при анализе скважинных исследований особое внимание уделялось ранним, нестационарным режимам работы скважины, в то время как для оценки дебита скважин обычно используется приближение установившегося или псевдоустановившегося режима. Последнее обусловлено тем, что в период развития аналитических методов разрабатывались пласты с достаточно высокой подвижностью нефти, для которых характерен малый период неустановившегося режима течения к скважине. С развитием аппаратов вычислительной математики основной акцент сместился на численное моделирование притока, поиск аналитических приближений отодвинулся на второй план. В представленной работе рассмотрены подходы к описанию течения флюида на неустановившемся режиме фильтрации.

Обзор литературы

Одна из первых публикаций, посвященных исследованию нестационарного притока к трещине гидроразрыва, появилась в 1958 г. [1]. В ней авторы обратили внимание на отклонение полулогарифмического графика давления в присутствии трещин ГРП от прямой, характерной для радиального режима. Основные подходы к аналитическому моделированию были заложены в работе [2], где применен аппарат функций Грина к решению задач неустановившейся фильтрации. Полученные функции мгновенного источника были использованы для построения поля давления вокруг трещины гидроразрыва бесконечной проводимости [3]. При описании трещин конечной проводимости в приближении бесконечного пласта выделено четыре режима фильтрации: линейный поток в трещине, билинейный, линейный поток в пласте и псевдорадиальный. При первом режиме приток к скважине поддерживается за счет одномерного течения флюида из трещины гидроразрыва к стволу скважины. Такой режим притока непродолжителен, возникает на очень ранних временах работы скважины и зачастую перекрывается эффектом от влияния ствола скважины. Затем наступает билинейный режим, который дополняет течение в трещине плоскопараллельным притоком из пласта и длится до тех пор, пока возмущение потока от кончика трещины не начнет влиять на поток в самой трещине. Линейный режим течения реализуется при высоких проводимостях трещины, при этом течение из пласта начинает превалировать, и приток от краев трещины становится пренебрежимо малым. По мере удаления фронта возмущения давления от скважины с гидроразрывом поток к трещине становится псевдорадиальным.

Единая модель течения на раннем режиме фильтрации — «трилинейный» режим — была разработана позднее [4]. Согласно этой модели на ранних временах поток в системе трещина—пласт разбивается на три компонента: линейный поток в трещине, линейный поток из пласта в трещину (перпендикулярный плоскости трещины) и линейный поток в пласте, параллельный плоскости трещины. Решение системы уравнений пьезопроводности, описывающих каждый компонент системы, было найдено в переменных пространства Лапласа. Было показано, что весь ранний режим притока с высокой точностью может быть смоделирован при помощи трилинейной модели, вплоть до приближения псевдорадиального режима течения, и включает билинейный и линейный режимы фильтрации как предельные случаи [4, 5].

Следующий значительный шаг в аналитическом моделировании притока к скважине с ГРП описан в работе [6], где был обобщен метод функций Грина, заложенный в работе [2], и представлен набор нестационарных решений для точечных источников в пространстве Лапласа. Интегрирование полученных решений для источников различной геометрии дает возможность численного моделирования притока к скважинам различных систем заканчивания и при различных граничных условиях [7]. Дальнейшее развитие моделей стало возможным благодаря развитию численных алгоритмов. Полуаналитические и асимптотические аналитические решения перешли на второй план.

Широкий круг работ посвящен возможностям численного моделирования притока к скважине с ГРП. Основной сложностью в использовании разностных сеток (наиболее распространенный метод моделирования течения жидкости в пласте) является корректное моделирование трещины, ширина которой намного меньше типичного размера сетки. Для решения этой проблемы был разработан ряд методик, однако ни одна из них не смогла нивелировать все недостатки, возникающие при численном моделировании. Например, при описании притока к трещине можно использовать эквивалентный радиус скважины или присваивать отрицательный скинфактор призабойной зоне [8], задавать псевдопроницаемость ячеек [9], ремасштабировать ячейки сетки или параметры пласта и флюидов (upscaling) [10] либо заменять трещину рядом точечных источников, вычисляя дебит на основе принципа суперпозиции [7]. Ряд статей посвящен обсуждению проблем, связанных с численным моделированием [11]. Кроме того, отмечается, что использование крупномасштабной сетки не позволяет адекватно моделировать нестационарный режим притока для флюидов малой подвижности, так как размер ячейки намного больше характерной величины вариации физических параметров, в первую очередь давления. Изменение размеров ячеек, в том числе локальное, значительно увеличивает время расчета модели и негативно влияет на сходимость расчетов.

Для малых значений подвижности kh/µ (k, h — соответственно проницаемость и толщина пласта; µ — вязкость флюида) нестационарный приток является превалирующим и вносит основной вклад в накопленную добычу скважины [12, 13]. Например, уже для подвижности 0,07·10-3 мкм3/(мПа·с) время наступления псевдорадиального режима по разным оценкам варьируется от года до 3,5 лет. При этом приближение линейного режима теряет силу уже на пятые сутки. Очевидный временной разбег между режимами работы скважины, для которых известны простые аналитические приближения, требует использования вышеописанных численных методов решения уравнения пьезопроводности даже для относительно простой задачи оценки продуктивности вертикальной скважины с ГРП в условиях однофазного потока в однородной изотропной среде. В статье рассмотрены вопросы поиска асимптотических решений этой задачи, которые бы охватывали достаточно большой интервал времени, хорошо аппроксимировали результаты численного моделирования и были пригодны для проведения быстрых оценок.

Аналитическое решение

Для получения уравнения, описывающего приток к скважине с ГРП на нестационарном режиме, воспользуемся моделью трилинейной фильтрации к скважине [4], схематически изображенной на рис. 1.

Рис. 1. Схематичное представление модели трилинейной фильтрации к вертикальной скважине с ГРП (вид сверху, стрелками указано направление потока): давление: pw — забойное, pf — в трещине, p1 — в зоне 1 пласта (поддерживает течение из пласта в трещину), p2 — в зоне 2 пласта (обеспечивает течение в пласте)

Решение системы уравнений в безразмерных переменных, описывающих такое течение, получено в работе [4] и в пренебрежении периодом добычи из трещины и сегрегацией имеет вид

(1)

где  — безразмерное забойное давление в пространстве Лапласа; pinitial — начальное пластовое давление; FD — безразмерный коэффициент, величина которого зависит от выбора системы единиц и в системе СИ FD=1/2π; qw — дебит; B — объемный коэффициент; — безразмерная проводимость трещины; kf — проницаемость трещины ГРП; bf, xf — соответственно ширина и полудлина трещины; hD=hf/h — безразмерная высота трещины; s — переменная Лапласа; .

Используя связь между дебитом и забойным давлением в пространстве Лапласа [12], из уравнения (1) можно получить решение системы уравнений для дебита в предположении постоянного забойного давления

(2)

где ‾qwD — безразмерный дебит в пространстве Лапласа.

Уравнения (1), (2) позволяют получить решения для приближений билинейного и линейного режимов течения [4, 5]. Трилинейная модель течения корректно описывает дебит скважины только при малых безразмерных временах

(3)

где Fk — безразмерный коэффициент, в системе СИ Fk = 1; φ — пористость, ct — общая сжимаемость; t — время.

Следовательно, можно использовать приближение для аналитического выполнения обратного преобразования Лапласа. Необходимо обратить внимание, что при этом величина абсолютного времени t зависит от коэффициента

φμctx2f k
 и при малых проницаемостях может составлять месяцы и даже годы. Вывод формулы довольно громоздкий, для удобства в статье приводится лишь конечный результат:

(4)

для трилинейной модели фильтрации

(5)

где tDxf — безразмерное время; u — элемент интегрирования; θ4() — четвертая тета-функция комплексных переменных Якоби; Λ—1 обратное преобразование Лапласа; γ() — нижняя неполная гамма-функция.

В уравнении (4) интеграл является точным решением, а функция (5) — приближением, позволяющим выполнять быстрые и достаточно точные оценки.

Искомое асимптотическое решение может быть получено на основании концепции «десуперпозиции» давлений, представленной в работе [3]. В работе [13] применена эта концепция для получения «трилинейно — псевдорадиального» решения путем численного решения уравнения для давлений в пространстве Лапласа.

В настоящей статье авторы используют принцип десуперпозиции применительно к дебиту скважины в предположении постоянного забойного давления. Для получения асимптотического решения, объединяющего трилинейный и псевдорадиальный режимы, принято, что аналогичным образом безразмерный дебит может быть представлен в виде суммы слагаемых, описывающих решение на малых и больших временах,

(6)

где qtrilwD, qlinwD, qlin-pwD — решения соответственно трилинейной, линейной и линейно-псевдорадиальной [7] моделей фильтрации.

При этом

(7)

Равенство (7) обеспечивает асимптотику малых и больших времен. Необходимо обратить внимание на то, что уравнение (6) не является математически точным решением задачи фильтрации к скважине с трещиной гидроразрыва, а представляет собой теоретически обоснованную аппроксимацию, которая, как будет показано далее, хорошо согласуется с численным моделированием.

В качестве решения задачи линейно-псевдорадиальной фильтрации будем использовать аппроксимацию вида

(8)

где a0, b0, b1 постоянные, α(СfDhD) — параметр модели, определяемый путем минимизации относительной ошибки при сравнении с численным моделированием.

Постоянные a0, b0, b1 определяются из предельных соотношений

(9)

где qpwD — псевдорадиальный приток к скважине.

При подстановке уравнений, описывающих линейный и псевдорадиальный режимы [4, 5], а также сшивку (8) в соотношения (9) однозначно определяются постоянные модели

(10)

Параметр модели α контролирует время начала и окончания применимости линейного и псевдорадиального приближений (9): чем больше α, тем раньше функция (8) сводится к псевдорадиальному решению qpwD.

Приток к вертикальной скважине с ГРП на неустановившемся режиме

Для определения параметров и оценки качества аналитической модели авторами статьи было проведено сравнение полученного решения с решением численного симулятора. Численное моделирование проводилось на конечно-разностном коммерческом гидродинамическом симуляторе Kappa Topaze, где пространственная сетка моделируется при помощи ячеек Вороного, размер которых постепенно уменьшается по мере приближения от краев резервуара к трещине. Расчет ограничивался временным интервалом применимости трилинейной модели. Для достижения необходимой точности на ранних временах и сходимости расчетов на больших минимальный шаг по времени изменялся вручную от 10-5 до 10-1 ч. Для удобства сравнения результаты моделирования были обезразмерены, при исследовании предельного случая CfD = ∞ в симуляторе Topaze выбиралась опция Fracture-Infinite conductivity, а уравнение (6) решалось для CfD = 107.

Оценка параметра модели α проводилась следующим образом: для каждого значения CfDhD подбиралось такое значение α (с точностью до второго знака после запятой), которое минимизирует относительную погрешность асимптотической формулы (6). При этом относительная погрешность ε асимптотических xa и численных xn значений

(11)

где || ||2 — вторая норма.

Найденные таким образом значения α отображены в табл. 1, изменение относительной погрешности показано на рис. 2.

Рис. 2. Расхождение аналитического и численного решений для разных значений параметра модели α при CfDhD = 10 (а) и CfDhD = 100 (б)

Таблица 1

CfDhD 1 1,5 2 3 4 5 10 100 1000
α 3,03 1,71 1,27 1,03 0,97 0,94 0,92 0,96 0,97 0,99

Полученные результаты были использованы для расчета корреляции α(CfDhD)в виде рационального полинома (рис. 3)

Рис. 3. Значения параметра модели α, определенные путем численного моделирования (1), и аппроксимация (2)

(12)

где с0 = 10,0, с1 = —3,0072, с2 = 3,9710, d1= —0,5127, d2 = 4,1240, d3 = 0,0017 — коэффициенты.

Итоговая модель притока, описываемая уравнениями (6), (5) и (8) и корреляцией (12), достаточно точно позволяет оценивать дебит скважины с ГРП (рис. 4). На малых временах (tDxf < 10-4) результаты численного моделирования расходятся с решением билинейного режима, что может быть связано с численными эффектами, вызванными расчетом на очень малых величинах. С увеличением времени и при CfDhD > 1 наблюдается хорошая сходимость результатов численного моделирования и разработанной модели (табл. 2). С уменьшением безразмерной проводимости наблюдается расхождение в результатах на интервале сшивки трилинейной и псевдорадиальной моделей (tDxf(10-2; 1)). При CfDhD < 1 такое расхождение превышает 10 %, в связи с чем не рекомендуется использовать представленную модель при малых значениях проводимости.

Рис. 4. Дебит вертикальной скважины с ГРП на ранних временах: сравнение результатов численной (точки) и аналитической (сплошная линия) моделей

Таблица 2

CfDhD ε ε при tDxf < 100 −4
1 0,137 0,051
1,5 0,137 0,038
2 0,137 0,039
3 0,137 0,044
4 0,137 0,045
5 0,137 0,044
10 0,139 0,033
100 0,159 0,015
1000 0,320 0,055
0,405 0,056

Выводы

1. Представленное аналитическое решение системы уравнений, описывающей приток к скважине с гидроразрывом в предположении трилинейного режима течения к скважине, позволяет определить дебит скважины на ранних временах, объединяя известные ранее билинейный и линейный режимы притока. 

2. Дебит скважины с ГРП можно определить при помощи асимптотической сшивки трилинейного, линейного и псевдорадиального решений. Путем минимизации нормы относительной ошибки в оценке дебита получена корреляция параметра аппроксимации α и безразмерной проводимости CfD. Полученное решение дает наилучшую аппроксимацию при CfDhD > 1, что является ограничением для использования данного приближения. 

3. Представленная модель позволяет проводить быструю и точную оценку дебита скважины с ГРП, избегая неточностей, связанных со сходимостью численных методов на ранних временах, а также значительно сокращая время расчета.

Список литературы

  • 1. Dyes A.B., Kemp C.E., Caudle B.H. Effect of Fractures on Sweep-out Pattern. Petroleum Transactions//AIME. — 1958. — V. 213. — P. 245–249.
  • 2. Gringarten A.C., Ramey H.J.Jr. The use of source and Green’s functions in solving unsteady flow problems in reservoirs//Society of Petroleum Engineers Journal. — 1973. — V. 13. — № 05. — P. 285–296.
  • 3. Gringarten A.C., Ramey H.J.Jr., Raghavan R. Unsteady-state pressure distributions created by a well with a single infinite-conductivity vertical fracture// Society of Petroleum Engineers Journal. — 1974. — V. 14. — № 04. — P. 347–360.
  • 4. Lee S.-T., Brockenbrough J.R. A new approximate analytic solution for finiteconductivity vertical fractures//SPE Formation Evaluation. — 1986. — V. 1. — № 01. — P. 75–88.
  • 5. Azari M., Wooden W.O., Coble L.E. A complete set of Laplace transforms for finiteconductivity vertical fractures under bilinear and trilinear flows//SPE 20556. — 1990. 6. Ozkan E., Raghavan R. New solutions for well-test-analysis problems: Part 1 — Analytical considerations//SPE Formation Evaluation. — 1991. — V.
  • 6. — № 03. — P. 359–368.
  • 7. Ozkan E., Raghavan R. New solutions for well-test-analysis problems: Part 2 — Computational considerations and applications//SPE Formation Evaluation. — 1991. — V. 6. — № 03. — Р. 369–378.
  • 8. Lefevre D., Pellissier G., Sabathier J.C. A new reservoir simulation system for a better reservoir management//SPE 25604. — 1993.
  • 9. Elahmady M., Wattenberger R.A. Coarse scale simulation in tight gas reservoirs// Journal of Canadian Petroleum Technology. — 2006. — V. 45. — № 12. — Р. 67–71.
  • 10. Durlofsky L.J. Upscaling and gridding of fine scale geological models for flow simulation//Presented at 8th International Forum on Reservoir Simulation Iles Borromees. — 2005. — V. 2024.
  • 11. Burgoyne M.W., Little A.L. From high perm oil to tight gas — A practical approach to model hydraulically fractured well performance in coarse grid reservoir simulators//SPE-156610. — 2012.
  • 12. Van Everdingen A.F., Hurst W. The Application of the Laplace Transformation to Flow Problems in Reservoirs//Journal of Petroleum Technology. — 1949. — V. 1. — № — 12. — P. 305–324.
  • 13. Ibrahim M.H., Wattenbarger R.A. Rate dependence of transient linear flow in tight gas wells//Journal of Canadian Petroleum Technology. — 2006. — V. 45. — № 10.
  • 14. Blasingame T.A., Poe B.D. Jr. Semianalytic solutions for a well with a single finite-conductivity vertical fracture//SPE 26424. — 1993.
  • 15. Practical solutions for pressure-transient responses of fractured horizontal wells in unconventional shale reservoirs/M. Brown, E. Ozkan, R. Raghavan, H. Kazemi//SPE Reservoir Evaluation and Engineering. — 2011. — V. 14. — № 06. — P. 663–676.

Возврат к списку