Использование данных по горизонтальным скважинам для спектрального моделирования с целью повышения прогнозной способности цифровых геологических моделей

Н.С. Исмагилов, к.ф.-м.н., А.А. Шпиндлер ООО «Газпромнефть НТЦ»,Е.В.Варзегов, А.С. Трушин Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Журнал «Нефтяное хозяйство»

Спектральное моделирование является относительно новым подходом к трехмерному вероятностному моделированию свойств нефтяных пластов [1–3]. Его основная идея заключается в разложении в ряд Фурье данных геофизических исследований скважин (ГИС) с последующим моделированием коэффициентов разложения. Спектральный подход имеет существенные преимущества по сравнению с классическими методами: ослабление требования стационарности к моделируемым данным; использование объективного периодограммного анализа вместо вариограммного субъективизма; независимость алгоритма от сетки моделирования и его параллелизуемость. 

Однако спектральный подход обладал рядом ограничений, которые препятствовали его применению для широкого круга объектов моделирования. Одним из них до недавних пор являлось то, что из-за особенностей алгоритма в процессе моделирования использовались только данные по субвертикальным скважинам, это несколько сужает области практической применимости спектрального метода моделирования. Вовлечение в процесс моделирования данных по горизонтальным скважинам (ГС) становится весьма актуальным в связи с увеличением числа месторождений, разрабатываемых с применением ГС. 

Теоретическая возможность расширения возможности спектрального моделирования с использованием данных ГС была рассмотрена в работе [4], в которой представлены аналитические выкладки и алгоритм, позволяющие строить стохастические реализации моделируемых полей, обусловленных данными по скважинам произвольной геометрии.
В статье рассмотрены вопросы практической реализуемости обозначенного выше аналитического результата в программном коде и оценки эффективности применения нового подхода к фактическим данным, полученным на месторождениях компании «Газпром нефть».

Спектральное моделирование по данным ГС 

Спектральный метод геологического моделирования – метод моделирования трехмерных кубов геофизических свойств на основе скважинных данных. Принятая в спектральном методе геологического моделирования математическая модель представлена моделируемой областью DхH ⊂R3(D ⊂R2–двумерная область,  H⊂R–некоторый интервал) и стохастическим полем G(x, h) (x ∈D, h ∈H), определенным на этой области. Для такой модели данные для вертикальных скважин с фиксированной координатой по латерали x* ∈D отражают случайный процесс, параметризованный переменной, которая характеризует глубину G(x*, h) = f(h).Если в моделировании участвуют N скважин с координатамиxi ∈D, на которых задано моделируемое свойство функциями fi(h), то эти функции можно рассматривать как известные значения некоторой реализации стохастического поля G(x, h). 

Общий принцип спектрального метода заключается в последовательной реализации нескольких шагов: разложение функций fi(h) по некоторому ортонормированному базису; моделирование коэффициентов разложения вмежскважинном пространстве (во всей области DхH); восстановление моделируемого стохастического поля по этим коэффициентам в каждой точке областиDхH. Более подробно для ортонормированного базиса {φ j} в пространстве L2(H) функций, интегрируемых с квадратом на H, и измерения fi(h) поля G в точках скважин xi справедливо разложение 

где J–глубина разложения в ряд Фурье; cij –коэффициент, определяемый как скалярное произведение в пространстве L2(H)

Разложение видов (1), (2)можно осуществить для любой точки x ∈ D, получая таким образом параметризованное разложение поляG

Относительно коэффициентов cj(x) делается предположение об их квазистационарности, т.е.

где aj(x), σj(x) – детерминированные функции; ηj(x) – стационарное поле. В этом случае полеGпринимает вид

Данные по вертикальным скважинам накладывают следующий вид ограничений:


равносильных условию


Для поля ηj(x) ограничения переписываются в виде


Для точек (x*p, h*p), расположенных на траектории горизонтальной скважины и имеющих значение G*p измеряемого параметра, должно выполняться условие


которое может быть записано в виде ограничений на функции ηj(x) 

при замене переменных bij : = σj(xi)φj(hi). 

В работе [4] показано, что задача построения стационарных случайных полей может быть решена двухшаговым методом на основе построения обобщенного кригинга. Согласно этому методу сначала генерируется независимая реализация стационарного поля j(x), затем строится обобщение кригинга по известным точечным замерам в горизонтальных скважинах


где  – решение следующей системы линейных уравнений 

Окончательное решение получено в виде


Практическое применение 

Представленные аналитические выкладки позволяют получить математически обоснованный алгоритм для построения реализаций стохастических полей спектральным методом, которые обусловлены данными по горизонтальным скважинам. Принципиальная возможность численной реализации алгоритма для простого одномерного случая приведена в работе [4]. Для оценки возможности практического применения нового алгоритма и его эффективности на фактических данных авторами был разработан программный прототип, реализующий этот алгоритм. Программная реализация представляет собой расширение красчетной библиотеке спектрального моделирования, которое позволяет использовать представленный выше метод построения обусловленных стохастических полей. 

Для оценки эффективности практического применения разработанного решения к фактическим данным авторами была рассмотрена задача построения стохастической реализации распределения коллектора в объеме пласта на одном из месторождений компании «Газпром нефть». Рассмотренный объект представляет собой нефтяной терригенный пласт. Область моделирования определена заданной на ней прямоугольной сеткой с пропорциональным ее разбиением по слоям. На пласт пробурено 90 скважин, из которых 48 ГС. Целевое моделируемое свойство: распределение коллектора представлено двумя значениями – 1 (коллектор) и 0 (неколлектор). По всем скважинам, как вертикальным, так и горизонтальным, выделены интервалы коллектора либо неколлектора. Дополнительным фактором, несколько осложняющим процесс моделирования, является необходимость комплексирования данных о концептуальном строении месторождения, которое в данном случае представлено картой песчанистости (рис. 1, а). 


Рис. 1. Карты песчанистости (а) и куба песчанистости, полученного в результате моделирования спектральным методом без использования ГС (б)

Таким образом, рассматривается задача построения модели куба трехмерного индикаторного свойства, характеризующего пространственное распределение коллектора впласте, которая воспроизводила бы статистические характеристики распределения скважинных данных, сами данные вдоль траекторий скважин, а также внешнюю по отношению к скважинным данным информацию, приведенную на карте песчанистости. 

Для анализа нового алгоритма вовлечения в процесс спектрального моделирования ГС и его программной реализации были построены две модели: 1) на основе вертикальных скважин; 2) учитывающая также данные по ГС. Обе модели были построены с заданием одного и того же начального значения генератора псевдослучайных чисел (так называемый seed). Это позволяет акцентировать внимание на различиях двух моделей, обусловленных наличием новой информации по ГС, и исключить влияние случайности, характерной для вероятностной модели. Таким образом, сравнение является более наглядным. 

На рис. 1, б представлена карта песчанистости первой модели, на рис. 3 – ее геолого-статистический разрез (ГСР), отображающий распределение коллектора по глубинам. Полученная модель точно воспроизводит данные по вертикальным скважинам и достаточно точно статистические характеристики: карту усредненной печанистости и ГСР, небольшие отклонения которого от ГСР по скважинам (см. рис. 2, зеленая кривая) объясняются неравномерной разбуренностью области моделирования. Представленные результаты позволяют сделать вывод об адекватности воспроизведения статистических характеристик первой моделью. Недостатком ее является невозможность воспроизведения данных вдоль ГС, что нарушает целостность геологической модели. 


Рис. 2. Сравнение ГСР по скважинам и ГСР по кубам моделей без использования и с использованием ГС

В отличие от первой модели вторая модель, построенная по новому усовершенствованному алгоритму, не обладает этим недостатком, в точности воспроизводя скважинные данные вдоль ГС, что подтверждается сравнением модельных и фактических данных. Сравнение воспроизведения данных по ГС показано на рис. 3, из которого видно, что для рассматриваемой ГС первая модель ошибочно воспроизводит данные, вторая – точно воспроизводит скважинные данные, перенесенные на укрупненную сетку. При такой точности воспроизведения данных новый алгоритм не снижает эффективность воспроизведения статистических характеристик второй модели по сравнению с первой. Карта песчанистости, ее гистограмма и ГСР для второй модели во многом повторяют соответствующие статистические характеристики первой модели и в той же, достаточно точной степени воспроизводят статистические характеристики данных по скважинам. 


Рис. 3. Восстановление данных вдоль ГС в двух моделях

Наиболее наглядно различия двух моделей отражают карты кумулятивной абсолютной разности кубов двух моделей (рис. 4) и распределения коллектора по вертикальным разрезам вдоль ГС (рис. 5). 


Рис. 4. Карта кумулятивной разницы кубов коллектора первой и второй моделей 

Приведенная на рис. 4 карта построена следующим образом. Сначала вычислен куб разности значений смоделированных полей для первой и второй моделей. Затем проведено суммирование абсолютных значений куба разности вдоль глубины (оси z) и определено отношение к толщине пласта. Такая карта позволяет оценить количество новой информации, полученной добавлением данных по ГС. Из рис. 5 видно, что наибольшее различие между двумя моделями имеется в межскважинной области вблизи ГС, что соответствует сути аналитического подхода. 


Рис. 5. Разрезы первой модели, не учитывающей данные по ГС, (а), и второй модели, использующей эти данные, (б)

Из рис. 5, аследует, что первая модель воспроизводит недостаточную толщину коллектора, следовательно ГС, которая на большей части траектории должна проходить по коллектору, оказывается вне его. Из рис. 5, б видно, что толщина коллектора во второй модели увеличена, скважина проходит вдоль коллектора и данные вдоль нее воспроизводятся корректно. 

Встречаются также обратные ситуации, когда ГС без выделенного в ней коллектора попадает в первой модели винтервал коллектора. В любом случае вторая модель корректно воспроизводит скважинные данные.

Выводы 

1. Представленные результаты моделирования подтверждают состоятельность аналитических данных, полученных ранее, а также эффективность применения нового алгоритма на практике. 

2. Использование ГС при расчете куба коллектора значительно повышает возможность применения результатов для гидродинамического моделирования месторождений: значения песчанистости (наличие коллектора) в районе ГС, участвующих в гидродинамических расчетах, будут соответствовать входным данным, распространение прослоев коллектора в кубе более обосновано. 

3. Хотя результаты были получены для индикаторного свойства, полученное решение (алгоритм) может также успешно использоваться для моделирования непрерывных свойств, точно воспроизводя данные вдоль ГС.

Список литературы

1. Байков В.А., Бакиров Н.К., Яковлев А.А. Новые подходы в теории геостатистического моделирования. Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. – 2010. – Т. 14. – № 2 (37). –C. 209–215.
2. Байков В.А., Бакиров Н.К., Яковлев А.А.Математическая геология. Т. 1. Введение в геостатистику // Сер. Роснефть. Библиотека нефтяного инжиниринга. –М. – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2012. – 228 с.
3. Применениеспектральной теории для анализа и моделирования фильтрационно-емкостных свойств пласта / М.М. Хасанов, Б.В. Белозеров, А.С.Бочков [и др.] // Нефтяное хозяйство. – 2014. – № 12. – С. 60–64.
4. Ismagilov N.S., Lifshits M.A. Conditioning Spectral Simulation Method By Horizontal Well Data // ECMOR XVI-16th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery. – 2018. – http://earthdoc.eage.org/publication/result?edid=561

References 

1. Baykov V.A., Bakirov N.K., Yakovlev A.A., New methods in the theory of geostatistical modelling (In Russ.), Vestnik Ufimskogo gosudarstvennogo aviatsionnogo tekhnicheskogo universiteta, 2010, V. 14, no. 2 (37), pp. 209-215. 
2. Baykov V.А., Bakirov N.K., Yakovlev A.A., Matematicheskaya geologiya (Mathematical geology), Part 1. Vvedenie v geostatistiku (Introduction to geostatistics), Moscow – Izhevsk: Publ. of Institute of Computer Science, 2012, 228 p. 
3. Khasanov M.M., Belozerov B.V., Bochkov A.S. et al., Application of the spectral theory to the analysis and modelling of the rock properties of the reservoir (In Russ.), Neftyanoe khozyaystvo = Oil Industry, 2014, no. 12, pp. 60–64. 
4. Ismagilov N.S., Lifshits M.A., Conditioning spectral simulation method by horizontal well data, Proceedings of ECMOR XVI-16th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, 2018. – http://earthdoc.eage.org/publication/result?edid=561

Возврат к списку