Применение новой модели многокомпонентной суспензии для расчета скин-фактора в скважинах, оборудованных гравийными фильтрами

М.М. Хасанов, д.т.н. ПАО «Газпром нефть»,ООО «Газпромнефть НТЦ», К.Э. Лежнев, ООО «Газпромнефть НТЦ», Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, В.Д. ПашкинСанкт-Петербургский гос. университет, А.П. Рощектаев, к.ф.-м.н.ООО «Газпромнефть НТЦ»

Журнал «Нефтяное хозяйство»

Вынос песка представляет собой существенную проблему при разработке пластов, сложенных слабосцементированными породами. Для ее решения используются различные забойные фильтры, например, щелевые, проволочные и гравийные набивки. Гравийная набивка – один из наиболее универсальных типов подобных фильтров – рекомендуется к установке даже в наименее благоприятных геологических условиях. Такой фильтр создает сложную поровую структуру на входе в скважину, что приводит кувеличению скин-фактора последней. В настоящее время отсутствуют методы, позволяющие оценить эффективность работы этих фильтров в зависимости от геологических и геомеханических параметров пласта. 

Для расчета скин-фактора гравийной набивки обычно предлагается использовать закон фильтрации Форхгеймера [1].


где p – давление; α, β – коэффициенты (для закона Дарси α=φ/к, β=0, где k – проницаемость, φ – пористость пласта); μ – вязкость флюида; v¯– скорость флюида. 

Расчеты можно дополнить учетом течения флюида в интервалах перфорации [2, 3]. Засорение гравийной набивки можно учесть эмпирически через различные параметры. Стационарные законы, используемые в таких моделях, не учитывают твердую фазу в притоке и не позволяют оценивать динамику скин-фактора скважины во времени. Также для определения коэффициента β существует множество корреляций, которые дают результаты, различающиеся в десятки раз. 

Модели на основе теории суспензии дают возможность учесть постепенное засорение гравийной набивки [4]. В них исследуются уравнения закона сохранения массы в многофазном потоке, проходящем через пористую среду [5]. Существуют модели, позволяющие рассматривать твердые частицы двух размеров [6]. Таким образом, подобные математические модели могут применяться для анализа скважин, оборудованных гравийной набивкой. 

Основным показателем для подбора гравийной набивки является гранулометрический состав породы[1]. Эмпирические корреляции и лабораторные эксперименты позволяют оценить наиболее эффективное соотношение между размерами пластовых частиц и гравийной набивки, однако они не универсальны и не способны показать изменение проницаемости гравийной набивки во времени. 

В статье рассмотрена новая модель многокомпонентной суспензии, на основе которой можно оценить дополнительное сопротивление потоку, обусловленное наличием гравийного фильтра. Построенная модель учитывает гранулометрический состав пластовых частиц, поэтому ее можно использовать не только для оценки динамики скин-фактора, но и для подбора оптимальных размеров гранул гравийной набивки.

Физико-математическая постановка задачи 

Базовые предположения 

Рассмотрим суспензию, состоящую из несущего флюида и твердых частиц различных размеров d1 > d2 > ... > dn. Предположим, что частицы размером d1 могут застревать в начальной пористой среде, размером d2 – свободно проходят сквозь начальную пористую среду, но могут застревать в порах, образованных первыми частицами. Исходя из этого предположения для произвольного числа типов частиц можно принять, что частицы размером di застревают в порах, образованных частицами размером di-1, но свободно проходят сквозь поры, образованные частицами размером di-2. 

Если принять, что упаковка частиц различных размеров одинакова, то размеры di должны составлять геометрическую прогрессию, т.е. di+1 = уdi, 0 < у< 1. Определить коэффициент у можно из геометрических соображений исходя из размера поры для различных упаковок: гексагональной и кубической (рис. 1). Таким образом, коэффициент у должен составлять от 0,155 до 0,414. При непрерывном распределении размеров частиц коэффициент у может быть меньше за счет более плотной упаковки при наличии несортированных частиц. 

При захвате твердые частицы определенного размера образуют плотные упаковки с критической концентрацией Cmax, значение которой может варьироваться от 0,54  (кубическая упаковка) до 0,73 (гексагональная упаковка) при хорошо сортированных частицах. Для плохо сортированных конфигураций Cmax может достигать больших значений.


Рис. 1. Соотношение размеров частиц для гексагональной (а) и кубической (б) упаковок

Система уравнений 

Для решения задачи засорения гравийной набивки необходимо записать законы сохранения массы для каждой из представленных фаз. В данном случае фазами потока являются: несущий флюид f, nфаз подвижных твердых частиц и n фаз неподвижных твердых частиц. Для несущего флюида закон сохранения массы выглядит следующим образом: 


где рf – плотность несущего флюида; ф0 – начальная пористость гравийной набивки; σj – объемная доля застрявших твердых частиц размером dj; cj – объемная концентрация подвижных твердых частиц в потоке; фj – объемная доля поровых каналов, в которых могут двигаться твердые частицы размером dj (фj определяется по аналогии с крупными каналами, использовавшимися в работе [5]). 

Поскольку в данной работе рассматривается большое число различных размеров частиц, крупные каналы будут определены по-разному для различных твердых фаз 


Далее можно записать закон сохранения массы для подвижных и неподвижных твердых частиц. Для подвижных частиц


для неподвижных частиц


гдерs –плотность частиц; qsi – поток застревающих частиц. В уравнениях (4), (5) полагается, что твердые частицы не опережают поток несущего флюида и не отстают от него, что справедливо для течения в высокопроницаемых пористых средах. Каждая из формул (4), (5) соответствует одному типу частиц. Из эмпирических соображений поток застревающих частиц можно определить из выражения 


Параметры λ и β могут быть получены при адаптации модели. Система уравнений (2), (4), (5) представляет собой систему из 2n+ 1уравнений с 2n+ 1переменными: v, σi, ci.

Начальные и граничные условия 

Задача рассматривается в радиально симметричной постановке, при этом флюид и твердые частицы считаются несжимаемыми. Начальные условия соответствуют постоянному притоку жидкости к скважине


незасоренной гравийной набивке


и отсутствию твердых частиц в потоке в начальный момент времени 


гдеQ– дебит скважины; H– высота интервала перфорации. Граничные условия соответствуют постоянности скорости притока флюида 


отсутствию застрявших твердых частиц на участке непосредственно в начале гравийной набивки 


и постоянности концентраций твердых частиц в притоке 

где rout – внешний радиус гравийной набивки (радиус скважины); аi – объемная доля частиц размером di согласно гранулометрическому составу пластовых частиц; ctot – общая концентрация твердых частиц в притоке.

Замыкающие соотношения Решение системы уравнений (2), (4), (5) позволяет рассчитать распределение скорости потока, пористости и концентрации твердых частиц в гравийной набивке. Для определения падения давления предлагается использовать корреляционную зависимость проницаемости от пористости [8]


где Rv – радиус гранул гравийной набивки, а также вязкости флюида от концентрации твердых частиц 


Используя приведенные соотношения, можно рассчитать градиент давления 


и далее, проведя интегрирование по всей гравийной набивке, найти падение давления на фильтре песка.

Численное решение Сформулированная задача не имеет в общем виде аналитического решения. Для численного решения вводится равномерная пространственно-временная расчетная сетка. Расчет параметров проводится по времени t, радиусу r и типу частиц i. При суммировании уравнений (2), (4), (5) скорость флюида может быть выражена следующим образом: 

На каждом временном слое согласно полученным скоростям определяется поток застрявших частиц каждого типа qsi. На следующем этапе рассчитывается объемная концентрация неподвижных частиц суспензии i путем решения дифференциального уравнения (5) с использованием метода Эйлера. Далее определяется объемная концентрация подвижных частиц суспензии csi. Гиперболическое дифференциальное уравнение (7) решается при помощи схемы с разностями против потока. Необходимый критерий устойчивости схемы с разностями против потока – критерий Куранта –Фридриха –Леви, который в данной задаче имеет следующий вид:


На последнем этапе по полученным данным о концентрации подвижных и неподвижных частиц для данного временного шага рассчитывается поле давлений согласно закону Дарси по формуле (15).

Обсуждение результатов 

Определение начальных и граничных условий исходя из лабораторных данных 

В качестве входных данных необходимо задать гранулометрический состав пластовых частиц, которые будут фильтроваться через подбираемую гравийную набивку. Такие данные можно получить с помощью лабораторных исследований керна. 

Рассмотрим функцию распределения размеров гранул F(d), построенную от крупных частиц к мелким (S-образная кривая) (рис. 2). 


Рис. 2. Типичный гранулометрический состав пластовых частиц с разбиением на различные дискретные размеры

В связи с предположениями, на которых основана модель, самый крупный реперный размер частиц d1 должен быть порядка уd0 (d0 – размер гранул гравийной набивки). Таким образом, определяются все реперные размеры d1, ..., dn, разделяющие гранулометрический состав на несколько областей. Начальную концентрацию твердых частиц можно вычислить по формуле 


Таким образом, варьируя d0 илиd1, можно определить оптимальный размер гравийной набивки. Коэффициент у выбирается с учетом сортировки породы. Для представленного на рис. 2 гранулометрического состава при d0= 800 мкм, = 0,25 diравен 200, 50, 12,5, 3,125 мкм, ci– соответственно 35, 50, 9 и 6 %. 

Общая концентрация твердых частиц в приток ctot (см. формулу (12)) может быть получена исходя из геомеханических моделей [11–13] или на основе замеров объема выносимых частиц в скважинах-аналогах, не оборудованных фильтрами песка.

Адаптация модели по данным моделирования методом дискретного элемента 

Построенная модель суспензии позволяет решить прямую задачу оценки динамики скин-фактора скважины с гравийной набивкой. 

С использованием метода дискретного элемен та (МДЭ) [7, 14] можно определить коэффициенты λ и β в формуле (6), отвечающие за вероятность застревания частиц в пористой среде. Моделирование при помощи МДЭ может быть заменено или дополнено данными лабораторных экспериментов по фильтрации суспензии ствердыми частицами сквозь гравийную набивку с фиксацией концентрации и гранулометрического состава твердых частиц до и после фильтрующего элемента. 

На рис. 3 приведена зависимость дополнительного снижения давления от времени при условии наличия гравийного фильтра. Через 5 сут после начала работы скважины дополнительная депрессия составляет 1,2 МПа. При разработке слабосцементированных коллекторов использование больших депрессий может привести к неконтролируемому разрушению призабойной зоны пласта и засорению скважины. Дополнительное снижение давления на 1 МПа способно снизить добычу в 2 раза и более. Согласно построенной модели за одну неделю дебит скважины снижается до нерентабельного уровня, что в целом соответствует наименее эффективно работающим скважинам.


Рис. 3. Зависимость снижения давления на гравийной набивке от времени согласно построенной модели

Адаптация модели к промысловым данным 

Модель суспензии также может быть адаптирована непосредственно к промысловым данным (рис. 4). 


Рис. 4. Зависимость скин-фактора от времени 

Высокая погрешность измерения скин-фактора связана с низкой точностью промысловых данных, тем не менее построенная кривая отражает его увеличение впределах погрешности. 

При рассмотрении большого объема статистических данных по всем скважинам месторождения можно выделить различные категории скважин и определить типичные значения коэффициентов λ и β для каждой категории. Такой анализ позволит прогнозировать скин-фактор новых скважин, по которым еще нет промысловых данных.

Дальнейшие исследования 

Дальнейшие исследования могут быть разделены на несколько частей: оптимизация подбора гравийных набивок, наработка базы коэффициентов λ и β для различных гранулометрических составов и расширение модели для учета образования фильтрационной корки на входе в фильтр. 

При оптимизации подбора гравийной набивки могут использоваться различные критерии, наиболее очевидный – максимизация срока работы скважины до достижения определенного критического значения скин-фактора. Однако при этом решением может стать самая крупная гравийная набивка, которая не будет фильтровать твердые частицы из потока. Критерий можно модифицировать – рассматривать минимизацию суммарной концентрации твердых частиц на выходе из фильтра. Наибольшую проблему при разработке составляют крупные твердые частицы, которые осаждаются на забое скважины. В данном случае критерий может включать минимизацию концентрации отдельного типа твердых частиц (например, минимизация с1). Оптимизация подбора гравийной набивки и выбор критерия оптимизации представляют большой исследовательский интерес. 

В то же время необходима наработка базы коэффициентов, отвечающих за захват твердых частиц в пористой среде. Для этого можно использовать многовариантные расчеты МДЭ и лабораторные исследования с измерением концентраций твердых частиц на входе и выходе из фильтрующего элемента, а также их гранулометрического состава. Большой интерес также представляет исследование коэффициентов λ и β в зависимости от различных параметров гранулометрического состава частиц – среднего размера или коэффициента однородности. 

В настоящее время модель позволяет учитывать фильтрацию только внутри порового пространства и не рассматривает частицы, которые застревают до входа в фильтрационный элемент. Этот эффект может быть учтен, если вместо локальной зависимости qi(x) = f(x) взять зависимость qi(x) от некоторой области вокруг частицы, сопоставимой с ее размером, 


В таком случае появляется вероятность того, что частица остановится не в узкой поре, а на некотором расстоянии от нее, что соответствует наблюдаемым эффектам. Вид функции f(x’) требует глубокого исследования. Подобная модель существенно сложнее, и для ее реализации необходимы более совершенные численные схемы.

Выводы 

1. Представленная в работе модель многокомпонентной суспензии позволяет оценивать динамику скин-фактора скважины, оборудованной гравийной набивкой. Благодаря учету твердых частиц различных размеров построенную модель можно использовать для оптимизации подбора гравийной набивки. 

2. При помощи моделирования методом дискретного элемента и априорных данных, полученных в результате исследования керна или анализа гранулометрического состава пород по месторождению, можно решить прямую задачу расчета динамики скин-фактора скважины, оборудованной фильтром для песка, без использования скважинных данных. 

3. Метод дискретного элемента может быть заменен на лабораторные эксперименты по фильтрации суспензии ствердыми частицами через пористую среду, в которых фиксируется концентрация твердых частиц перед фильтрующим элементом и после него, а также гранулометрический состав этих частиц до и после фильтра. 

4. Многовариантные расчеты прямой задачи позволяют адаптировать параметры модели к промысловым данным и прогнозировать дальнейшее поведение фильтра. Благодаря варьированию начальных условий (концентрации различных фракций твердых частиц) модель можно использовать для подбора оптимальных размеров гранул гравийной набивки.

Список литературы

1. Saucier R. Considerations in Gravel Pack Design // Journal of Petroleum Technology. – 1974. – V. 26. – № 2. – Р. 205–212.
2. Unneland T. An Improved Model for Predicting High-Rate Cased-Hole Gravel-Pack Well Performance // SPE 54759-MS. – 1999.
3. Furui K., Zhu D., Hill A. A New Skin Factor Model for Gravel-Packed Completions // SPE 90433-MS. – 2004.
4. McDowell-Boyer L., Hunt J., Sitar N. Particle Transport Through Porous Media // Water Resourses Research. – 1986. – V. 22. – № 13. – P. 1901–1921.
5. Boronin S.A., Osiptsov A.A., Tolmacheva K.I. Multi-Fluid Model of Suspension Filtration in a Porous Medium // Fluid Dynamics. – 2015. – V. 50. – № 6. – Р. 759–768.
6. Deep Bed and Cake Filtration of Two-Size Particle Suspension in Porous Media / R. Sacramento, Y. Yang, Z. You [et al.] // Journal of Petrolium Science and Engineering. – 2015. – V. 126. – P. 201–210.
7. Lezhnev K. Application of Discrete Element Method for Modelling Sand Control Systems // SPE 191525-18RPTC-MS. – 2018.
8. CoelhoD., Thovert J.-F., AdlerP.Geometrical and transport properties of random packings of spheres and aspherical particles // Physical Review E. – 1997. – V. 55. – № 2. – Р. 1959–1978.
9. RongL., Dong K., YuA.Lattice-Boltzmann simulation of fluid flow through packed beds of uniform spheres: Effect of porosity // Chemical Engineering Science. – 2013. – V. 99. – P. 44–58.
10. Osiptsov A. Hydraulic fracture conductivity: effects of rod-shaped proppant from lattice-Boltzmann simulations and lab tests // Advances in Water Resources. – 2017. – V. 104. – P. 293–303.
11. Van den Hoek P., GeilikmanM.Prediction of Sand Production Rate in Oil and Gas Reservoirs // SPE 84496-MS. – 2003.
12. Prediction of Volumetric Sand Production and Wellbore Stability Analysis of a Well at Different Completion Schemes/ J. Wang, D. Walters, R.Wan, A. Settari // The 40th U.S. Symposium on Rock Mechanics (USRMS). – Anchorage, Alaska, USA, 2005.
13. Sharma M., Wang H. A Fully 3-D, Multi-Phase, Poro-Elasto-Plastic Model for Sand Production // SPE 181566-MS. – 2016.
14. EstimatingSand Production Through Gravel Packs // C. Wu, M. Sharma, M. Fuller, S. Mathis // SPE 189481-MS. – 2018.

References

1. Saucier R., Considerations in gravel pack design, Journal of Petroleum Technology, 1974, V. 26, no. 2, pp. 205–212.
2. Unneland T., An improved model for predicting high-rate cased-hole gravel-pack well performance, SPE 54759-MS, 1999.
3. Furui K., Zhu D., Hill A., A new skin factor model for gravel-packed completions, SPE 90433-MS, 2004.
4. McDowell-Boyer L., Hunt J., Sitar N., Particle transport through porous media, Water Resourses Research, 1986, V. 22, no. 13, pp. 1901–1921.
5. Boronin S.A., Osiptsov A.A., Tolmacheva K.I., Multi-fluid model of suspension filtration in a porous medium, Fluid Dynamics, 2015, V. 50, no. 6, pp. 759–768.
6. Sacramento R., Yang Y., You Z. et al., Deep bed and cake filtration of twosize particle suspension in porous media, Journal of Petrolium Science and Engineering, 2015, V. 126, pp. 201–210.
7. Lezhnev K., Application of discrete element method for modelling sand control systems (In Russ.), SPE 191525-18RPTC-MS, 2018.
8. Coelho D., Thovert J.-F., Adler P., Geometrical and transport properties of random packings of spheres and aspherical particles, Physical Review E, 1997, V. 55, no. 2, pp. 1959–1978.
9. Rong L., Dong K., Yu A., Lattice-Boltzmann simulation of fluid flow through packed beds of uniform spheres: Effect of porosity, Chemical Engineering Science, 2013, V. 99, pp. 44–58.
10. Osiptsov A., Hydraulic fracture conductivity: effects of rod-shaped proppant from lattice-Boltzmann simulations and lab tests, Advances in Water Resources, 2017, V. 104, pp. 293–303.
11. Van den Hoek P., Geilikman M., Prediction of sand production rate in oil and gas reservoirs, SPE 84496-MS, 2003.
12. Wang J., Walters D., Wan R., Settari A., Prediction of volumetric sand production and wellbore stability analysis of a well at different completion schemes, The 40th U.S. Symposium on Rock Mechanics (USRMS), Anchorage, Alaska, USA, 05-842 ARMA Conference Paper, 2005.
13. Sharma M., Wang H., A fully 3-D, multi-phase, poro-elasto-plastic model for sand production, SPE 181566-MS, 2016. 14. Wu C., Sharma M., Fuller M., Mathis S., Estimating sand production through gravel packs, SPE 189481-MS, 2018.

Возврат к списку