Оптимизация дизайна гидроразрыва пласта для горизонтальной скважины

Б.Н. Старовойтова, к.ф.-м.н., Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, С.В. Головин, д.ф.-м.н., Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирский гос. университет, Е.А. Кавунникова, Новосибирский гос. университет, Е.В. Шель, Г.В. Падерин, ООО «Газпромнефть НТЦ»

Журнал «Нефтяное хозяйство»

Многостадийный гидроразрыв пласта (МГРП) в настоящее время является одним из распространенных методов интенсификации добычи углеводородов, а на месторождениях с низкопроницаемыми коллекторами – единственно возможным способом добычи. Технологическим критерием эффективности МГРП служит величина прироста дебита скважины в результате его применения. Вследствие высокой стоимости данной технологии первоочередной задачей является определение оптимального дизайна МГРП, гарантирующего его экономическую рентабельность. 

В работе [1] предложена концепция унифицированного дизайна ГРП, в которой предполагается, что величина притока к скважине линейно пропорциональна пере-паду давления в ней, коэффициент пропорциональности получил название «индекс продуктивности» (ИП). Критерием оптимальности дизайна ГРП выступает условие максимального значения ИП. Было показано, что для любого количества проппанта, закачанного в пласт, существуют (единственным образом) геометрические ха-рактеристики трещины ГРП (длина и ширина), при которых достигается максимальное значение ИП и соответственно максимальный приток к скважине. В работе [2] предложен алгоритм оптимизации МГРП, сочетающий технологическую и экономическую эффективность. В этом подходе для каждой массы проппанта находятся оптимальные геометрические характеристики трещины, соответствующие максимуму ИП, затем среди найден-ных геометрических характеристик выбираются те, для которых значение чистой дисконтированной стоимости (NPV) максимальное.

В настоящей работе предлагается другой подход: поиск числа и геометрических характеристик трещин, обеспечивающих максимальный приток к скважине, должен сразу осуществляться при некоторых экономических ограничениях, например, при условии максимального возможного дохода от МГРП при минимальных затратах на его проведение. Такая постановка задачи нахождения оптимального дизайна ГРП приводит к необходимости решения задачи многоцелевой оптимизации, в которой одновременно ищется экстремум нескольких показателей (в рассматриваемом случае это дебит, NPV и затраты на проведение МГРП), называемых целевыми функциями или критериями качества.

Задача оптимизации МГРП, близкая к приведенной в данной статье, рассматривалась в работах [3, 4], где за-дача многоцелевой оптимизации сводилась к минимизации одной целевой функции, являющейся взвешенной суммой всех интересующих функций качества. Недостаток такого подхода – необходимость подбора весовых коэффициентов, который может быть выполнен только после анализа серии оптимизационных расчетов с различными комбинациями весов.

Постановка задачи

Сформулируем задачу оптимизации МГРП следующим образом. Требуется подобрать длину горизонталь-ного ствола скважины, число и геометрические характеристики трещин, которые соответствует достижению целевых показателей: максимальному уровню добычи Qtot, максимальному уровню доходов от операции МГРП на основе расчета NPV или минимальному уровню затрат на операцию МГРП CHF. 

Поскольку геометрические характеристики трещины напрямую связаны с количеством закачанного в пласт проппанта, независимыми параметрами оптимизации являются: число трещин Nf; масса проппанта на одну трещину Mp; длина горизонтального ствола скважины Lw. При этом на них накладываются следующие ограничения:


Технологические параметры, такие как скорость закачки Q0 и концентрация проппанта C, в дальнейшем рассмотрении считаются заданными (за концентрацию проппанта C принимается средняя объемная концентрация всего процесса закачки). Продуктивный пласт считается параллелепипедом высотой H, ограниченным снизу и сверху непроницаемыми прослоями. Горизонтальная скважина простирается вдоль центральной линии пласта с поперечными трещинами, расположенными равномерно и перпендикулярно скважине, симметрично относительно ее оси (рис. 1). Высота трещин считается равной толщине пласта.

Вычисление значений целевых функций состоит из трех модулей: расчета геометрических характеристик одной трещины; расчета дебита горизонтальной скважины с несколькими одинаковыми трещинами и расчета экономических показателей.

Рис. 1. Схема прямоугольного резервуара, содержащего сква-жину Г и трещины МГРП Г (i = 1, ..., N ):
R – характерный размер пласта в горизонтальной плоскости, H – высота пласта

Метод решения задачи многоцелевой оптимизации

С математической точки зрения любую оптимиза-ционную задачу можно записать в следующем виде.

Найти такие параметры x1, ..., xN при которых достигается экстремум функций f1(x), ..., fM(x), при условии xL ≤ x≤ xU. Здесь x = (x1, ..., xN) – вектор параметров оптимизации; f1(x), ..., fM(x) – целевые функции; векторы xL, xU – соответственно нижняя и верхняя границы для параметров. Вдальнейшем для удобства будем считать, что требуется минимизация всех целевых функций, поскольку maxfi = min(-f)i. Будем предполагать, что вектор параметров x1 лучше
x2 для i-й целевой функции, если fi(x1) < fi(x2). Если x1 лучше x2 для всех целевых функций, то x1 доминирует над x2. Если для некоторых целевых функций x1 лучше x2, но хуже для других, то векторы x1 и x2 являются недоминируемыми (не сравниваемыми между собой наборами параметров).

Поскольку в общем случае не существует одного век-тора параметров, дающего экстремум сразу всех целевых функций, решением задачи многоцелевой оптимизации является множество оптимальных решений, каждое из которых лучше любого другого хотя бы по одному из критериев. Такое множество называется оптимальным множеством (или фронтом) Парето. Возмущением любой точки оптимального фронта Парето невозможно улучшить какой-либо критерий качества без ухудшения остальных критериев. Окончательное решение выбирается вручную исходя из дополнительных предпочтений, отдаваемых какому-либо критерию качества. Для решения задач многоцелевой оптимизации в настоящее время широко применяются генетические алгоритмы (ГА), которые возникли как имитация естественного от-бора. В ГА вектор параметров оптимизации называется особью (или индивидуумом), совокупность всех пара-метров оптимизации (особей) – популяцией, а каждый отдельный параметр xi – геном.

Любой ГА начинается с формирования начальной популяции, состоящей из N наборов случайным образом выбранных оптимизационных параметров. Под действием операторов отбора, скрещивания и мутации популяция эволюционирует, при этом «живыми» остаются только наиболее приспособленные с точки зрения за-данных критериев качества (лучшие) особи. В работе используется один из эффективных алгоритмов много-целевой оптимизации – генетический алгоритм NSGA-II (Nondominated Sorting Genetic Algorithm), предложенный в работе [5]. В NSGA-II после вычисления целевых функций текущей популяции выделяют множество не доминирующих друг над другом особей, которое называют первым фронтом, а особям, принадлежащим ему, присваивается ранг 1. Второй фронт образуют особи, над которыми доминируют только особи первого фронта, им присваивается ранг 2; третий фронт – над которыми доминируют особи только второго фронта и т.д. Чем выше ранг особи, тем дальше она находится от фронта Парето. На рис. 2 показан принцип ранжирования особей на примере минимизации двух целевых функций. Кроме того, для особей, принадлежащих одному фронту, вводится критерий кучности (называемый расстоянием кроудинга), который характеризует близость особи к «соседям». Расстояние кроудинга для i-й особи равно нормированной сумме сторон прямоугольника, вершинами которого являются особи i – 1 и i + 1 (см. рис. 2). Чем больше расстояние кроудинга, тем равномернее распределение особей на фронте.


Рис. 2. Пример ранжирования в генетическом алгоритме NSGA-II

Особенность NSGA-II состоит в следующем. После создания начальной популяции все особи сортируются по возрастанию ранга и убыванию расстояния кроудин-га. Отбор популяции «родителей» проводится следую-щим образом: из двух случайным образом выбранных особей в «родительскую» популяцию попадает особь с меньшим рангом, если ранги особей разные, и с боль-шим расстоянием кроудинга, если ранг особей одинако-вый. Отобранные «родители» участвуют в создании «потомков» при помощи операторов скрещивания и мутации. Два «родителя» P1 и P2 порождают двух потомков C1 и C2 линейной комбинацией генов: С1 =αP1 + (1 – α)P2, Сi2 = (1 – α)Pi1 + αPi2 (i – номер гена, α– случайное число с равномерным распределением из промежутка (0, 1)).

Оператор мутации описывает произвольное возмуще-ние какого-либо гена и позволяет сохранить разнообра-зие популяции. В работе используется оператор мутации полиномиального типа, в котором ген С мутирует по
правилу: Ci'= Ci + δi(Ci,max – Ci,min). Здесь Ci'– мутированное значение i-го гена, C  max' , Cmin – соответственно
верхняя и нижняя границы значений i-го гена; i – малая величина, определяемая соотношениями

где u ∈(0, 1) – равномерно распределенное случайное число; ηm – индекс распределения мутации.

Затем, объединяя популяции «родителей» и «потомков», формируем одну промежуточную популяцию раз-мерности 2N. Снова сортируем ее по возрастающему рангу и убывающему расстоянию кроудинга и, отбирая N лучших особей, получаем новую популяцию следую-щего поколения. Алгоритм повторяется пока не будет достигнуто заданное пользователем число популяций.

Геометрия трещины

Для расчета геометрии трещины будут использованы эмпирические формулы, полученные для одного из месторождений компании «Газпром нефть» на основе ре-альных данных по методу из работ [6, 7]. В качестве жидкости гидроразрыва используется сшитый гель, который описывается моделью степенной жидкости с показателем консистенции К′ = 4,596 Па⋅сn и коэффициентом поведения потока n = 0,51. Полудлина трещины xf и ее среднее раскрытие wM задаются формулами


где  – скорость закачки, м3/с; Δσ= 4 МПа – разность напряжений между верхней и нижней границами пласта; E'= 2,13•104 МПа – модуль плоских деформаций; A'= 0,1792, β= 0, 5743 – эмпирические безразмерные коэффициенты; Cmax – максимальная концентрация проппанта; ρp – плотность проппанта.

Расчет дебита скважины

Для     расчета     дебита     горизонтальной     скважины с МГРП и поперечным расположением трещин в работах [8, 9] предложена аналитическая формула

где k, kf – коэффициент проницаемости соответствен-но пласта и трещины; b – объемный коэффициент
нефти; μn – вязкость нефти; rs – радиус скважины; pп, рз – давление соответственно пластовое и забойное; р0 – некоторое промежуточное давление, задаваемое соотношением

b = 4(Nf – 1)2xf(R – xf)/Lw2; a = 2xf(Nf – 1)/(LwFcd); Fcd = kfwM/kxf – безразмерная проводимость трещины.

Предполагая экспоненциальный темп падения добы-чи нефти Qt = Qe-t, накопленную добычу за t-й год на-ходим по формуле


где α– эмпирический коэффициент снижения.
 
Отметим, что оценка дебита не учитывает приток к скважине без трещин, что является недостатком моде-ли. Согласно оценкам авторов работ [8, 9] возникающая погрешность значительно уменьшается с ростом числа трещин. В связи с этим МГРП с числом трещин меньше четырех исключаются из рассмотрения.

Вычисление экономических показателей

Для оценки экономической эффективности МГРП будем использовать дисконтированный поток денежной наличности или чистую дисконтированную стоимость NPV, которая представляет собой сумму дисконтирован-ных доходов за каждый расчетный год,

где Пt – денежный приток за t-й год; At – расходы за t-й год; – норма дисконта; Tmax – год проведения оценки; t – текущий год; CAPEX – капитальные вложения в скважину и МГРП, которые могут учитываться в составе текущих эксплуатационных расходов At, но здесь выделе-ны в отдельную статью.

Затраты на проведение MГРП CHF включают постоянные затраты, например, стоимость оборудования МГРП, и переменные затраты, зависящие от стоимости израсходованных проппанта и жидкости, рассчитываются по формуле

где Prp, PrF – цена соответственно проппанта и жидкости; VF – объем жидкости гидроразрыва; TC – затраты на закачку проппанта; AC = 1,7 млн руб. – затраты на покупку оборудования.

Стоимость скважины WellC складывается из ее стоимости бурения и обустройства и состоит из двух частей – стоимости вертикальной и горизонтальной составляющих скважины. Вертикальную составляющую скважины Vert считаем постоянной величиной, и ее стоимость также постоянна, а стоимость горизонтальной части скважины CH пропорциональна длине горизонтального участка. Стоимость скважины оценивалась следующим образом: WellC = WellCVert + WellCH = 8,7 [млн руб.] +
+ 101,8 [млн руб.] (Lw/Lw avrg)1,5 (Lw avrg – средняя длина горизонтального ствола скважины). Тогда капитальные вложения в скважину с МГРП CAPEX = CHF + WellC. Прибыль Пt = QtotPrn – это выручка от реализации нефти, уменьшенная на величину эксплуатационных затрат At, связанных с добычей нефти и дополнительной жидкости, амортизационных отчислений, налогов и прочих производственных расходов:


где Qtot – накопленная добыча; Prn – средняя цена нефти; Mn – масса добытой нефти; Inj – затраты на добычу, подго-товку и транспортировку нефти; MET – налог на добычу полезных ископаемых; Amort = WellC/Tamor – ежегодные амортизационные отчисления (Tamor – срок амортизации); NIm – налог на имущество; WellSod – расходы на содержание скважины (считаются некоторой фиксированной величиной). Имущественный налог вычисляется по формуле

Налог на прибыль NPrib в t-м году равен (Пt – At)StPrib (StPrib – ставка налога на прибыль). Если (Пt – At) < 0, то налог на прибыль равен нулю. Расчетный период Tmax обычно берется от 3 до 10 лет. Амортизационный срок устанавливается государством равным для всех предприятий и организаций и для нефтяных скважин составляет 7–10 лет. В настоящей статье принято Tamor = 7 лет.

Результаты расчетов

Решение многоцелевой оптимизационной задачи про-водилось на популяции из 100 особей, остановка алго-ритма происходила после 100-й итерации. Период рас-чета NPV принимался равным 10 годам. При вычисле-нии дебита использовались следующие параметры, характерные для низкопроницаемых коллекторов: нефтенасыщенная толщина пласта H = 16 м, пластовое давление pп = 20 МПа, забойное давление pз = 5 МПа, проницаемость трещины k = 29,61 мкм , вязкость нефти в пластовых условиях µn = 0,498 мПа•с, характерный размер разработки в горизонтальной плоскости, перпендикулярно ориентации скважины, R = 400 м, объемный коэффициент нефти b = 1,2.

Значения экономических показателей: Pr = 11509,3 руб/м3; Prp = 18 руб/кг; PrF = 1800 руб/м3; TC = 10,6289 руб/кг; AC = 1,7 млн руб.; StIm = 2,2 %; WellSod = 2,8 млн руб/скв; Inj = 254 руб/кг; D = 0,2;
MET = 5,077 руб/кг; Stprib= 20 %; α= 0,578 год-1; плотность нефти ρn= 830 кг/м3; плотность проппанта как материала ρp = 2645 кг/м3.

Результаты расчетов (найденный фронт Парето) для разных проницаемостей пласта k приведены на рис. 3, где также отмечена точка максимального значения NPV. Из рис. 3 видно, что зависимость NPV от величины накопленной добычи не всегда линейная. Пусть объемная концентрация проппанта составляет 0,3, что соответствует 793,5 кг/м3. Как видно из рис. 3, а максимум NPV и максимум добычи для пласта проницаемостью k = 0,4935•10-3 мкм2 не совпадают.


Рис. 3. Фронт Парето при средней проницаемости пласта k = 0,4935⋅10-3 мкм2 (а) и k = 4,935⋅10-3 мкм2 (б) 

С экономической точки зрения (точка максимума NPV = 60,7 млн руб.) наиболее выгодно бурить горизонтальную скважину длиной 489,6 м и проводить шесть стадий ГРП. При этом полудлина каждой из трещин составляет 158,9 м, ширина – 0,005 м. Накопленная добыча Qtot при этом равна 36,7 тыс. м3, а затраты – 76 млн руб. Если предпочтительнее получить наибольший уровень накопленной добычи (Qtot = 66, 3 тыс. м3), то при тех же геометрических характеристиках трещин необходимо увеличить длину горизонтального участка до 1200 м, а число трещин до 12. Отметим, что тогда затраты будут максимальны и составят 231 млн руб., а NPV будет в 2 раза и более ниже своего максимального значения – 27,8 млн руб. Однако поскольку любое положительное значение NPV означает экономическую прибыльность проекта, такой вариант проекта МГРП тоже является рентабельным.

Если проницаемость пласта возрастает в 10 раз до 4,935*10-3 мкм2 (см. рис. 3, б), то зависимость NPV от накопленной добычи становится практически линейной. Максимальное значение NPV в этом случае достигается при тех же значениях оптимизационных параметров, что и максиммальная накопленная добыча. Это соответствует максимально возможным значениям оптимизационных параметров: Lw = 1200 м, Nf = 12, Mp на одну трещину – 90 т (длина и ширина таких трещин равняется соответственно 158,9 и 0,005 м). Однако увеличение затрат от 150 млн руб. (точки, выделенные на рис. 3, б черным цветом) до максимального значения 231 млн руб. не приводит к существенному увеличению ни NPV, ни накопленного дебита.

На рис. 4 представлен фронт Парето (NPV) для раз-личных значений средней концентрации проппанта C. Если проницаемость пласта k = 0,4935•10-3 мкм2 (см. рис. 4, а), то в этом случае величина NPV обратно пропорциональна концентрации, и экономически выгоднее применять проппант в более низких концентрациях. Это объясняется тем, что, при равном количестве закачанного проппанта чем ниже его концентрация, тем более узкие и длинные образуются трещины и тем боль-шее увеличение притока они обеспечивают. Если рассматривать пласт с более высокой проницаемостью (см. рис. 4, б), то выбор концентрации проппанта зависит от величины затрат, которые закладываются на строительство скважины с МГРП. Если ограничить за-траты величиной 150 млн руб., то тогда также эффективнее применять проппант в более низких концентра-циях. Если не ограничивать затраты на строительство скважины с МГРП, то выгоднее применять проппант в более высоких концентрациях.


Рис. 4. Фронт Парето для проницаемости пласта k = 0,4935⋅10-3 мкм2 (а) и k = 4,935⋅10-3 мкм2 (б) при разных объемных концентрациях проппанта С

Таким образом, предложен метод, основанный на алгоритме многоцелевой оптимизации, который позволяет дать предварительную оценку экономической эффектив-ности МГРП. Результаты расчетов показали, что часто используемая формула «максимум NPV – это максимум добычи» не всегда справедлива. Данная методика может быть полезна при проектировании МГРП, а также при выборе скважинкандидатов для его проведения.

Список литературы

  1. Economides M.J., Oligney R.E., Valko P.P. Unified Fracture Design: Bridging the gap between theory and practice. – Texas: Orsa Press Alvin. 2002.
  2. Marongiu-Porcu M., Economides M.J., Holditch S.A. Economic and phy-sical optimization of hydraulic fracturing // J. Nat. Gas. Sci. Eng. – 2013. – V. 14. – P. 91–107.
  3. Rahman M.M., Rahman M.K., Rahman S.S. An integrated model for mul-tiobjective design optimization of hydraulic fracturing // J. Petrol. Sci. Eng. – 2001. – V. 31. – P. 41–62.
  4. Rahman M.M., Rahman M.K., Rahman S.S. Multicriteria Hydraulic Fractu-ring Optimization for Reservoir Stimulation // Pet. Sci. Technol. – 2003. – V. 21. – P. 1721–1758.
  5. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II / K. Deb, S. Agrawal, A. Pratap [et al.] // IEEE Trans.Evol.Comp. – 2002. – V. 6. – P. 182–197.
  6. Retrospective Analysis of Hydrofracturing with the Dimensionless Para-meters: Comparing Design and Transient Tests / Shel E. [et al.] //SPE Russian Petroleum Technology Conference. – 2018.
  7. Шель Е.В., Падерин Г.В., Кабанова П.К. Методика тестирования моде-лей симулятора гидроразрыва пласта //Нефтяное хозяйство. – 2018. – № 12. – С. 42–45.
  8. Модель для расчета дебита горизонтальной скважины в зависимо-сти от числа трещин гидроразрыва пласта / С.В. Елкин, А.А. Алероев, Н.А. Веремко [и др.] // Нефтяное хозяйство. – 2016. – № 1. – С. 64–67.
  9. Учет влияния безразмерной проводимости на экспресс-расчет де-бита жидкости после многозонного гидроразрыва пласта / С.В. Елкин, А.А. Алероев, Н.А. Веремко [и др.] // Нефтяное хозяйство. – 2016. – № 12. – С. 110–113.

References

  1. Economides M.J., Oligney R.E., Valko P.P., Unified fracture design: Bridging the gap between theory and practice, Texas: Orsa Press Alvin, 2002, 262 p.
  2. Marongiu-Porcu M., Economides M.J., Holditch S.A., Economic and physical optimization of hydraulic fracturing, J. Nat. Gas. Sci. Eng., 2013, V. 14, pp. 91–107. 
  3. Rahman M.M., Rahman M.K., Rahman S.S., An integrated model for multi-objective design optimization of hydraulic fracturing, J. Petrol. Sci. Eng., 2001, V. 31, pp. 41–62.
  4. Rahman M.M., Rahman M.K., Rahman S.S., Multicriteria hydraulic fracturing optimization for reservoir stimulation, Pet. Sci. Technol., 2003, V. 21, pp. 1721–1758. 
  5. Deb K., Agrawal S., Pratap A. et al., A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II, IEEE Trans. Evol. Comp., 2002, V. 6, pp. 182–197.
  6. Shel E. et al., Retrospective analysis of hydrofracturing with the dimension-less parameters: Comparing design and transient tests (In Russ.), SPE 191707-18RPTC-MS, 2018, https://doi.org/10.2118/191707-18RPTC-MS.
  7. Shel E.V., Paderin G.V., Kabanova P.K., Testing methodology for the hy-drofracturing simulator (In Russ.), Neftyanoe khozyaystvo = Oil Industry, 2018, no. 12, pp. 42–45.
  8. Elkin S.V., Aleroev A.A., Veremko N.A. et.al., Flowrate calculation model for fractured horizontal well depending on frac stages number (In Russ.), Neftya-noe khozyaystvo = Oil Industry, 2016, no. 1, pp. 64–67.
  9. Elkin S.V., Aleroev A.A., Veremko N.A. et.al., Accounting for dimensionless conductivity in express calculation of flow-rate in a well after multi-stage hy-draulic fracturing (In Russ.), Neftyanoe khozyaystvo = Oil Industry, 2016, no. 12, pp. 110–113.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (соглашение №14.581.21.0027 от 03.10.2017 г., уникальный идентификатор RFMEFI58117X0027). Индустриальный партнер – ООО «Газпромнефть НТЦ»  


Возврат к списку