Марковские цепи применительно к моделям гетерогенных сред

01.05.2020

PROНЕФТЬ. Профессионально о нефти. – 2020 - № 1 (15). – С. 8-14

УДК 550.8.072

О.В. Емченко, к.ф.-м.н., А.Р. Хасанова, Э.Э. Холоднов, Д.Р. Лапицкий, Р.П. Ронжин, Ф.Ф. Мухамедьянов, С.Ю. Грищенко
ООО «Уфимский НТЦ»

Электронные адреса: emchenkoov@ufntc.ru, emchenkoov@gmail.com

Ключевые слова: стохастическое моделирование, марковская цепь, фация, геологическое моделирование, осадконакопление

Проблемы корректности распространения свойств в геологических моделях в современных пакетах геологического моделирования общеизвестны и определяются математическими подходами, связанными со случайным гауссовым процессом. Иных математических подходов на текущий момент не существует. При этом в современном геологическом моделировании на уровне работы любого геологического симулятора невостребованным остается огромный пласт давно и хорошо структурированной информации о порядке и правилах взаимосочетания фаций при определенных условиях осадконакопления.

Марковский процесс, так же, как и гауссов, случайный, но с учетом истории состояний на предыдущем шаге процесса. Идея использования марковских цепей - частного случая марковского процесса, когда пространство его состояний дискретно, в геологическом моделировании, не нова.

Суть предлагаемой и уже успешно отработанной на ряде месторождений методики сводится к заданию правил перехода между фациями с вероятностью, определяемой при статистической обработке данных геофизических исследований скважин (ГИС). Большое число работ, связанных с выделением фаций для определенных условий осадконакопления, позволяет задать строго ограниченные рамки выбора соседних фаций. Таким образом, идея марковской цепи, в которой «будущее» процесса зависит от «прошлого» лишь через «настоящее», хорошо вписывается в логику фациального моделирования, что, с учетом рассчитанной для конкретных условий осадконакопления на фактических данных ГИС матрицы перехода, наилучшим образом соответствует концепции фациального моделирования, причем не в режиме ручного выделения фаций и дальнейших попыток распространения свойств в этих фациях стохастическим гауссовым процессом, а прямым распространением свойств на основе рассчитанной матрицы перехода.

Markov chains for heterogeneous earth models

PRONEFT''. Professional'no o nefti, 2020, no. 1 (15), pp. 8-14

O.V. Emchenko, A.R. Khasanova, E.E. Kholodnov, D.R. Lapitskiy, R.P. Ronzhin, F.F. Mukhamedyanov, S.Yu. Grishchenko
NGT-IT LLC, RF, Ufa

E-mail: emchenkoov@ufntc.ru, emchenkoov@gmail.com

Keywords: stochastic modeling, Markov chain, facies, geological modeling, sedimentation

The problems of accurate prediction of geological properties in earth models created with modern software tools are well-known. These problems are predetermined by the mathematics of Gaussian random processes. No other mathematical approach currently exists for such applications. Regardless of the method used, be it kriging, sequential Gaussian stochastic modeling or spectral modeling, the problem of homogeneity when distributing properties can be resolved only with some tricks played by a geologist. At the same time today in earth models at the level of any reservoir simulation software the previously accumulated, abundant and well-structured data on patterns and rules of facies combinations in certain depositional environments remain unused.

Markov process as well as Gaussian describes random processes, however it takes into account the state history at the previous step of the process. The idea to use Markov chains as a special case of Markov process where the state space is discreet, i.e. at most countable, is not all new in reservoir modeling. The efforts to apply this approach (at the level of data analysis and processing) date back to the 70s of the previous century. However this method presumably failed to gain any widespread acceptance due to increasing popularity of Georges Matheron’s publications on applied geostatistics.

The key point of the proposed approach which has already been successfully tested on a number of fields implies setting rules for facies changes with probability defined by statistical analysis of well logs. Abundant research aimed at studying the facies and depositional settings allows to set strict boundaries for selecting neighboring facies. Thus the idea of a Markov chain in which the future of a process depends on its past only through its present* for a countable set of states (facies) strictly follows the logic of facies modeling. This feature with the transition matrix calculated from actual well logs for a particular depositional environment is the best solution for facies modeling where the facies are not manually selected and then attempts are made to distribute their properties using stochastic Gaussian simulations but instead they are directly interpolated or extrapolated using the calculated transition matrix.

DOI: 10.24887/2587-7399-2020-1-10-16

Введение

Принятая в настоящее время концепция геологического моделирования определяет следующие основные этапы построения модели:
1) петрофизическое моделирование с поточечной(редко) /поинтервальной (преимущественно) интерпретацией;
2) определение литологии на уровне 0-неколлектор/1- коллектор без выделения фаций;
3) ручная (крайне редко автоматическая) внутрипластовая корреляция;
4) принятие конформного залегания прослоев относительно кровли и подошвы пласта;
5) распространение свойств в активных ячейках без учета фаций на уровне понимания концептуальной модели с некоторыми допущениями.
В этом формате моделирования в явном виде выделяются две существенные проблемы, влияющие на корректность построенной геологической модели:
1) выделение маркеров в скважинах и их соединение при корреляции пластов по данным геофизических исследований скважин (ГИС), что является нетривиальной задачей и часто существенно зависит от опыта интерпретатора;
2) корректное отражение условий осадконакопления с привязкой к данным ГИС, т.е. создание 3D модели, соответствующей концептуальной модели месторождения.

Очевидно, что для существования геологической границы необходимо наличие пространственных неоднородностей, различных геологических тел. «Граница всегда есть граница между чем-то: … понятие геологического тела первично по отношению к понятию геологической границы. … придя к такому естественному выводу, мы оказались в противоречии с традицией приписывания приоритета геологическим границам.

Здесь важно отметить, что речь идет не о том, как геологи выделяют на картах, в разрезах и других ситуациях геологические тела, а о том, как теоретики пытались описать этот процесс.» [1]. Имея объекты, можно с большей долей уверенности затем строить их границы и при желании проверить их методами стандартной корреляции с выделением маркеров для зон с одинаковым типом осадконакопления. Отметим, что корреляция в сложнопостроенных коллекторах является условной и отражает не столько связность, расчлененность пласта, сколько попытку соединить маркеры в соседних скважинах. Основной предпосылкой для подхода, связанного с выделением тел, а затем ограничением этих тел, является понятие фации.

Подавляющее большинство исследователей в это понятие включают признаки, отражающие:
• вещественный состав осадка (литологию) и содержащуюся в нем фауну;
• принадлежность фации к одному стратиграфическому горизонту;
• физико-географическую обстановку осадконакопления.

При предварительном выделении фаций хотя бы на уровне электрофациального анализа известные коммерческие пакеты позволяют каким-то образом моделировать распространение свойств внутри каждой выделенной фации. Однако проблема заключается не столько в ограниченной функциональности пакетов геологического моделирования, обусловленной именно математической постановкой задачи распространения геологических параметров в ячейках сетки, сколько в предварительной подготовке данных для фациального моделирования. Рассмотрим подробнее разрабатываемый авторами подход.

Для многих природных процессов, рассматриваемых как случайные, наблюдается влияние предшествующих событий на последующие. Эти процессы называются марковскими по имени впервые описавшего их математика Маркова

Методы моделирования геологических объектов

Существующие методы моделирования геологических параметров в современных пакетах геологического моделирования сводятся к постулату: в выбранном временном слое распределение параметров в среднем мало изменяется по латерали. Это позволяет использовать статистический подход к моделированию в предположении о стационарности и гауссовости исходных данных. Эти предположения существенно ограничивают диапазон применимости предложенного математического аппарата в рамках реально существующей геологии и требуют выделения геологического кластера со стационарным распределением свойств. 

При любой нестационарности при подготовке данных для распространения параметров необходимо предварительное применение нелинейных квантиль-квантильных преобразований или иных методов приведения данных к стационарности. Соответственно для модели в рамках этого постулата вводятся характеристики, которые должны быть учтены в теории пространственных переменных:
1) пространственная переменная всегда определена в геометрическом поле, знание параметров поля позволяет предсказать «характеристики переменной на базе ν в поле V по известным характеристикам точечной переменной в поле ν′, отличном от поля V» [2];
2) разрешены следующие степени непрерывности изменения характеристики в пространстве: строгая, в среднем, нерегулярная непрерывность - эффект «самородка»;
3) возможно наличие анизотропии свойств для пространственной переменной;
4) разрешены «явления перехода» как структуры, связанные с наличием разрывов в геометрическом поле. 

С учетом этих характеристик строится математический аппарат теории пространственных переменных, основанный на теории случайных процессов. Однако и Ж. Матерон [2], и многие его последователи неоднократно отмечали, что такое упрощение ведет к серьезным осложнениям, связанным в первую очередь с невозможностью чисто статистического подхода при моделировании больших объектов с изменяющимися типами осадконакопления. 

Рассмотрим одну из немногих локальных проблем, обусловленную ограничением существующего статистического подхода. Указанные в теории стационарного подхода требования стационарности и гауссовости накладывают строгие ограничения на область моделирования, скважинные данные должны быть распределены по нормальному закону. Как правило, в данных выделяется несколько фаций, каждая из которых имеет свое близкое к нормальному распределение, и в результате общего нормального распределения по всем фациям в совокупности для скважинных данных не получается. Поэтому различными методами приводят полученный набор данных к стационарному гауссову распределению. 

На рис. 1 приведен пример использования преобразования для перехода от негауссова распределения пористости к гауссову. Очевидно, что такое преобразование существенно нелинейно.

1.PNG

После распространения свойств в заданном кубе необходимо выполнить операцию, обратную приведению к стационарности, т.е. построить обратную функцию для преобразования, приведшего к стационарности. В настоящее время почти не существует иных математических подходов к геологическому моделированию. Фактически любой предложенный метод распространения свойств в пласте сводится к моделированию гауссовых полей, т.е. любая попытка создать адекватный аппарат для геологического моделирования свойств так или иначе приводит к необходимости использовать предложенный подход с моделированием случайного гауссова поля. С математической точки зрения одному времени осадконакопления соответствует одна гауссова случайная величина со своими характеристиками: средним значением, дисперсией и ковариационной функцией. 

Распространение свойств с использованием одной гауссовой случайной величины может быть при определенных условиях приемлемым для построения секторной модели (модели небольшого участка месторождения), но не всего месторождения с изменяющимися фациальными зонами. «Проблема в том, что выполнить названное условие (стационарности) на практике очень сложно. Те же детерминированные особенности, которые не будут выделены, будут в реализациях стерты. Иначе и быть не может – геостатистика исходит из того, что детерминированных особенностей в среде нет» [3]. Попытки изменить устоявшиеся взгляды на моделирование предпринимались неоднократно. В частности IFP (French Institute of Petroleum) была предпринята попытка создания мультигауссовой модели или модели с использованием одновременно в одной области определения нескольких гауссовых полей. Коротко опишем предложенный подход в сравнении с усеченным гауссовым моделированием.

2.PNG

Допустим, что существуют месторождения, где выделенные фации (литотипы) образуются в последовательном порядке, например, когда песчаник сменяется тонкослоистым песчаником, а затем сланцем. Имеются два подхода для моделирования таких залежей: Truncated Gaussian Simulations – усеченное гауссово моделирование (УГМ) [4] и Plurigaussian Simulations – мультигауссово моделирование [5]. 

Основная идея состоит в том, чтобы моделировать одну или несколько гауссовых случайных величин, т. е. с распределением N (0,1) в каждой точке области исследования, а затем использовать правила перехода для преобразования этих значений в литотипы. Проиллюстрируем работу метода УГМ, основанного на моделировании одной гауссовой случайной величины. 

Пусть задано гауссово поле N (0,1) со значениями в каждой точке пространства (рис. 2). После применения отсечки 0,3 получим выделенные фации: при значениях меньше 0,3 – «желтая фация» – флаг «0», при значениях выше 0,6 – «черная фация» - флаг «2», а фации для промежуточных значений окрашены в светло-серый цвет – флаг «1» (см. рис. 2). Эти интервальные значения (пороги) составляют правило перехода литотипов. Во многих случаях метод УГМ показывает приемлемые результаты: геолог-модельер сам определяет число фаций и находит отсечку, по которой отделяет одну фацию от другой. Данный метод очень прост в реализации – результирующий куб можно вычислить в калькуляторе кубов. Однако метод оказывается абсолютно неэффективным, если известна последовательность чередования фаций и есть правила, по которому одни фации могут контактировать с другими. Такие случаи требуют расширения метода УГМ до двух или более гауссиан – мультигауссового моделирования. Проиллюстрируем работу метода мультигауссового моделирования в программном комплексе (ПК) PluriDemoSimu [6] на примере двух случайных полей. 

Пусть Y1 - случайная величина с экспоненциальной вариограммой, Y2 - случайная величина с гауссовой вариограммой (рис. 3). Правила перехода литотипов могут быть выбраны из меню, в частности для рассматриваемого примера правила заданы для трех фаций: квадрат разделен на три области, соответствующие различным литотипам. Если Y2 <0, то литотип кодируется как зеленый, если Y2> 0, а Y1 <0, кодировка литотипа оранжевая, если Y2 <0, а Y1> 0 – желтая. Из рис. 3 видно, что в случае моделирования одной гауссовой величины выделение литофаций эффективно определяется значениями пороговых значений. Когда используются две или более гауссиан, ситуация усложняется заданием правила перехода, что существенно затрудняет вычисление вариограмм, оценку параметров и процесс моделирования. 

В сущности процесс мультигауссового моделирования сводится к следующему. Результат определяют два ключевых фактора: пороговые значения, при которых происходит «усечение» гауссовых переменных, и вариограмма модели, лежащая в основе гауссовой переменной. Соотношения фаций, правило перехода и корреляция между базовыми гауссовыми случайными функциями определяют пороговые значения. Зная математическую связь между индикаторными вариограммами и вариограммами базовой гауссовой переменной, можно найти подходящую модель вариограммы и оценить значения ее параметров. В скважинах известны литотипы (ремасштабированные на сетку каротажные кривые), но эти дискретные значения не являются гауссовыми случайными величинами.

3.PNG

Математические модели работают только с гауссовыми переменными, следовательно, необходимо использовать преобразование, приводящее литотипы в соответствующие гауссовы величины, которые, попадая в определенные интервалы, отвечают определенной фации. Таким образом, возникает необходимость генерации в соответствующие интервалы гауссовых значений с определенными свойствами (например, для оценки модели вариограммы). Для генерации этих значений используется специальный статистический метод, называемый моделью Гиббса (Gibbs sampler) [7]. Последний шаг в процессе рассматриваемого моделирования – преобразование гауссовых значений в узлах сетки обратно в фации с использованием правила перехода.

Существенное отличие предлагаемой авторами методики от стандартного гауссового моделирования состоит в том, чтобы локальные зоны, связанные с выделенными геологически однородными кластерами, считать зонами со стационарными случайными процессами, но переходы между этими зонами рассматриват как марковскую цепь

Применение марковских цепей при геологическом моделировании

Подобные предложения в изменении подхода к геологическому моделированию достаточно известны. При создании моделей на уровне работы широко применяемых геологических пакетов невостребованными остается огромный пласт давно и хорошо структурированной информации о порядке и правилах взаимосочетания фаций в определенных условиях осадконакопления. Для многих природных процессов, рассматриваемых как случайные, наблюдается влияние предшествующих событий на последующие. Эти процессы называются марковскими по имени впервые описавшего их математика Маркова. Особенность марковских процессов заключается в том, что вероятность перехода в какое-либо состояние можно вывести из данных о непосредственно предшествующем состоянии. Частным случаем марковского процесса является цепь Маркова – ее можно рассматривать как последовательность дискретных состояний во времени или пространстве, для которых вероятность перехода из одного состояния в заданное зависит от предшествующего состояния. Таким образом, марковский процесс, так же как и гауссов, является случайным процессом, но учитывает историю состояний на предыдущем шаге процесса. Преимущество данного подхода состоит в том, что для него может быть рассчитана теоретическая модель вероятностей перехода в заданном направлении, зависящая от долей каждой фации, их характерного масштаба корреляции (характерной протяженности) и закономерности чередования. 

Параметры модели рассчитываются при анализе данных скважин. Идея использования марковских цепей – частного случая марковского процесса, когда пространство его состояний дискретно, не нова. В 1949 г. марковская модель чередования слоев тел внутри толщи осадочных пород была предложена А.Н. Колмогоровым при решении задачи межслоевого размыва [8]. В 70-х годах XX века, когда стала усиленно развиваться математическая геология, вновь появился интерес к марковским процессам. В известной работе Дж. Харбуха [9] рассматривается марковская цепь чередования литотипов плоскослоистой среды, фациальных зон, динамики роста соляных куполов. В советской литературе можно привести в пример труды С.И. Романовского, который в своей работе по седиментологии [10] рассматривал в качестве важных составляющих элементы вероятностной теории слоенакопления на основе работ А.Н. Колмогорова. Основное отличие марковских моделей от моделей другого типа заключается в явно постулируемой дискретности объектов и четко выраженной взаимосвязи детерминистского (обусловленный переход) и случайного подходов к распространению свойств. 

Понятие цепи Маркова выделяет из совокупности всех возможных динамических систем (в том числе процесса осадконакопления) так называемые системы без последствия, или системы с отсутствием памяти. В детерминированном случае это те системы, для которых состояние в момент времени t однозначно определяется состоянием этой системы в момент времени (t – 1) независимо от того, каким было изменение до этого момента. В отличие от детерминированных стохастические системы без последствия обладают тем свойством, что по состоянию системы в момент времени (t – 1) однозначно определяется не состояние системы в момент времени t, а лишь вероятность, с какой она в этот момент времени находится в данном состоянии. 

В модели цепей Маркова предполагается, что рассматриваемая система обладает следующими свойствами:
• в каждый период времени система может находиться в одном из конечного набора состояний;
• система случайно переходит из одного состояния в другое (в том числе и в то же самое), и вероятность перехода зависит только от того состояния, в котором она находилась;
• в каждый момент времени система выдает одно значение наблюдаемой характеристики – случайную величину, зависящую только от текущего состояния системы. Рассмотрим упрощенный пример. Пусть в зонах 1 и 3 (рис. 4) пробурены скважины. 

Электрофациальный (или любой другой) анализ четко регистрирует в зоне 1 наличие типовых форм, характерных для фации морского глубоководья, а в зоне 3 – фаций пляжа. Очевидно, что между этими зонами существует некая переходная зона, связанная с фациями морского мелководья. Между любыми фациями возможны переходы строго в соответствии с правилами осадконакопления, описанными многими поколениями геологов с точки зрения систематизации данных. Следовательно, эти правила и будут являться правилами перехода в рассматриваемой математической модели. В качестве основы для разработки правил перехода между фациями приведем широко известную работу В.С. Муромцева по выделению электрофаций [11]. В этой работе выделены так называемые диагностические признаки фаций, кроме типовых форм каротажа для αПС также отмечена возможная принадлежность определенной данной формы к определенному типу осадконакопления (фации) и возможные переходы к другим типам. Аналогичных работ по выделению фаций на основе каротажных данных в настоящее время достаточно много, следовательно, уже имеется минимальный набор правил перехода, которые могут быть определены по форме фаций.

4.PNG

Существенное отличие предлагаемой авторами методики от стандартного гауссового моделирования состоит в том, чтобы локальные зоны, связанные с выделенными геологически однородными кластерами, считать зонами со стационарными случайными процессами, но переходы между этими зонами рассматривать как марковскую цепь. На основе библиотек образов с помощью статистической обработки можно анализировать формы для фаций, выделяемых по данным каротажа, следовательно, давать некие подсказки геологу о статистическом наборе этих фаций, а значит, и о возможном типе осадконакопления. Верификация приведенных предположений по керновым данным еще более сузит возможные пути перехода от одного кластера к другому. В этом подходе есть существенное преимущество – возможность прогнозирования. Если скважины расположены на месторождении в разных фациальных зонах, то, зная правила перехода между ними, можно определить статистические (гауссовы) параметры в переходной зоне с отсутствующими данными. Таким образом, с использованием предложенной логики марковского процесса в ходе работы была выработана следующая схема распространения свойств в модели, которая была протестирована на ряде месторождений (рис. 5):

5.PNG

• разбиение каротажных диаграмм на интервалы, соответсвующие фациям, по флагам фаций; • статистический анализ типичных переходов, выявление «врезов»; • кластеризация по флагам (вертикальная, латеральная); • определение возможных концептуальных моделей осадконакопления по ряду правил для разрешенных переходов между фациями; • уточнение модели осадконакопления (при наличии керновых данных) и выбор из возможных вариантов перехода наиболее вероятных; • выделение кластеров с типовыми формами для фаций; • задание дерева решений (правила); • создание матрицы вероятности на основе анализа флагов фаций; • распространение свойств по правилам (дерево решений) с учетом вероятности перехода от одной фации к другой; в переходных зонах между кластерами на основе разрешенных вероятностных переходов распространение синтетических каротажных кривых по данным из созданных библиотек и верификация этих кривых по фактическим результатам ГИС.

Заключение

Проблемы корректности распространения свойств в геологических моделях в современных пакетах геологического моделирования общеизвестны и определяются математическими подходами, связанными со случайным гауссовым процессом. Иных математических подходов на текущий момент просто не существует. При этом в современном геологическом моделировании на уровне работы любого геологического симулятора остается невостребованным огромный пласт давно и хорошо структурированной информации о порядке и правилах взаимосочетания фаций при определенных условиях осадконакопления. Применение марковских цепей позволяет внести больше геологических данных в существующую математику, составляющую основу пакетов геологического моделирования, задавать корректное с точки зрения геологии распределение фаций, учитывать детерминистические характеристики пласта. В представленной работе на основе простых алгоритмов авторы описывают возможности и преимущества применения марковских цепей в геологическом моделировании.

Список литературы

    1. Губерман Ш.А. Неформальный анализ данных в геологии и геофизике. – М.: Недра, 1987. - 261 с.
    2. Матерон Ж. Основы прикладной геостатистики. – М.-Ижевск: институт компьютерных исследований, 2009. - 460 с.
    3. Ковалевский Е.В. Geological Modelling on the Base of Geostatistics, Student Lecture Tour RUSSIA &CIS 2011-2012
    4. Matheron G. Suffit-il, pour une covariance, d’etre de type positif? // Sci Terre Inf Geologique. 1987. – V. 26. – P. 51-66.
    5. Galli A., Beucher H., Le Loc’h G., Doligez B. The pros and cons of the truncated Gaussian method. In: M. Armstrong [et al] (eds) // Geostatistical simulations. – Kluwer: Dordrecht. – 2003. – Р. 217–233.
    6. Plurigaussian Simulations in Geosciences. – Berlin: Springer, 160 p.
    7. Freulon X, de Fouquet C. Conditioning a Gaussian model with inequalities. In: Soares A (ed) Geostat Troia ’92. V 1. Kluwer, Dordrecht. – P. 201–212.
    8. Колмогоров А.Н., Гнеденко Б.В. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. – 264 с.
    9. Дж. Харбух, Г. Бонэм-Картер. Моделирование на ЭВМ в геологии. – М.: Мир, 1974. — 318 с.
    10. Романовский С.И. Седиментологические основы литологии. – Л., Недра, 1977. – 408 с.
    11. Муромцев В.С. Электрометрическая геология песчаных тел – литологических ловушек нефти и газа. – Л.: Недра, 1984. – 260 с

    Reference

    1. Guberman Sh.A., Neformal'nyy analiz dannykh v geologii i geofizike (Informal data analysis in geology and geophysics), Moscow: Nedra Publ., 1987, 261 p.
    2. Matheron G., Fundamentals of applied geostatistics (translation from French), Moscow – Izhevsk: Publ. of NITs “Regulyarnaya i khaotichnaya dinamika”, 2009, 460 p.
    3. Kovalevskiy E.V., Geological modelling on the base of geostatistics, Student Lecture Tour RUSSIA &CIS 2011-2012, URL: https://studfile.net/preview/4374422/
    4. Matheron G., Suffit-il, pour une covariance, d’etre de type positif, Sci Terre Inf Geologique, 1987, V. 26, pp. 51–66
    5. Galli A., Beucher H., Le Loc’h G., Doligez B., The pros and cons of the truncated Gaussian method, In: Geostatistical simulations: edited by Armstrong M. et al., Kluwer, Dordrecht, 2003, pp. 217–233.
    6. Plurigaussian simulations in geosciences, Springer, Berlin, 160 p.
    7. Freulon X., de Fouquet C., Conditioning a Gaussian model with inequalities, In: Soares A., Geostat Troia’92, V. 1, Kluwer, Dordrecht, pp. 201–212.
    8. Kolmogorov A.N., Gnedenko B.V., Predel'nye raspredeleniya dlya summ nezavisimykh sluchaynykh velichin (Limit distributions for sums of independent random variables), Moscow – Leningrad: GITTL Publ., 1949, 264 p.
    9. Harbaugh J.W., Bonham-Carter G., Bonham-Carter Graeme F., Computer simulation in geology, Wiley, 1970, 575 p.
    10. Romanovskiy S.I., Sedimentologicheskie osnovy litologii (Sedimentological foundations of lithology), Leningrad: Nedra Publ., 1977, 408 p.
    11. Muromtsev V.S., Elektrometricheskaya geologiya peschanykh tel – litologicheskikh lovushek nefti i gaza (Electrometric geology of sand bodies - lithological traps of oil and gas), Leningrad: Nedra Publ., 1984, 260 p

Возврат к списку